Để giải bài toán này, ta cần xác định vận tốc của ca nô khi nước yên lặng (gọi là \( v_c \)).

1. **Xác định các đại lượng đã biết:**
- Chiều dài khúc sông từ A đến B: \( 45 \) km.
- Thời gian tổng cộng cho cả hành trình: \( 6 \) giờ \( 15 \) phút = \( 6.25 \) giờ.
- Vận tốc dòng nước: \( 3 \) km/h.

2. **Biểu diễn vận tốc của ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng:**
- Khi xuôi dòng, vận tốc của ca nô là: \( v_c + 3 \) km/h.
- Khi ngược dòng, vận tốc của ca nô là: \( v_c - 3 \) km/h.

3. **Thiết lập phương trình thời gian:**
- Thời gian xuôi dòng từ A đến B: \( \frac{45}{v_c + 3} \) giờ.
- Thời gian ngược dòng từ B về A: \( \frac{45}{v_c - 3} \) giờ.
- Tổng thời gian cho cả hành trình: \( 6.25 \) giờ.

Do đó, ta có phương trình:
\[ \frac{45}{v_c + 3} + \frac{45}{v_c - 3} = 6.25 \]

4. **Giải phương trình:**
- Đầu tiên, nhân cả hai vế của phương trình với \( (v_c + 3)(v_c - 3) \) để loại bỏ mẫu số:
\[ 45(v_c - 3) + 45(v_c + 3) = 6.25(v_c + 3)(v_c - 3) \]
- Rút gọn phương trình:
\[ 45v_c - 135 + 45v_c + 135 = 6.25(v_c^2 - 9) \]
\[ 90v_c = 6.25(v_c^2 - 9) \]
- Chia cả hai vế cho 6.25:
\[ \frac{90v_c}{6.25} = v_c^2 - 9 \]
\[ 14.4v_c = v_c^2 - 9 \]
- Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[ v_c^2 - 14.4v_c - 9 = 0 \]

5. **Giải phương trình bậc hai:**
- Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ v_c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
- Với \( a = 1 \), \( b = -14.4 \), và \( c = -9 \):
\[ v_c = \frac{14.4 \pm \sqrt{14.4^2 + 4 \cdot 9}}{2} \]
\[ v_c = \frac{14.4 \pm \sqrt{207.36 + 36}}{2} \]
\[ v_c = \frac{14.4 \pm \sqrt{243.36}}{2} \]
\[ v_c = \frac{14.4 \pm 15.6}{2} \]

- Ta có hai nghiệm:
\[ v_c = \frac{14.4 + 15.6}{2} = 15 \]
\[ v_c = \frac{14.4 - 15.6}{2} = -0.6 \]

Vì vận tốc không thể âm, ta loại nghiệm \( v_c = -0.6 \).

Do đó, vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \( 15 \) km/h.