Công đoàn trường tổ chức 3 hoạt động nhân ngày 8/3: cắm hoa, nấu ăn và khiêu vũ. Một bộ môn có 8 cô giáo đều ghi tên tham gia và mỗi người đăng ký một hoạt động một cách ngẫu nhiên ( khả năng chọn 3 hoạt động là như nhau) và độc lập

Để giải quyết các bài toán xác suất này, ta cần sử dụng các khái niệm cơ bản về xác suất và tổ hợp.

**a) Tính xác suất cả 8 người đều đăng kí vào khiêu vũ**

Mỗi người có 3 lựa chọn (cắm hoa, nấu ăn, khiêu vũ) và các lựa chọn này là độc lập. Xác suất để một người đăng ký vào khiêu vũ là \(\frac{1}{3}\).

Do đó, xác suất để cả 8 người đều đăng ký vào khiêu vũ là:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^8 = \frac{1}{6561} \]

**b) Tính xác suất 8 người đăng kí vào 1 hoạt động**

Có 3 hoạt động, và xác suất để tất cả 8 người đăng ký vào một hoạt động cụ thể (ví dụ: cắm hoa) là \(\left(\frac{1}{3}\right)^8\). Tuy nhiên, có 3 hoạt động khác nhau, do đó xác suất để tất cả 8 người đăng ký vào một trong ba hoạt động là:
\[ 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^8 = 3 \times \frac{1}{6561} = \frac{3}{6561} \]

**c) Tính xác suất có 5 người cắm hoa, 2 người nấu ăn, 1 người khiêu vũ**

Đầu tiên, ta cần tính số cách chọn 5 người trong 8 người để cắm hoa, 2 người trong số còn lại để nấu ăn, và 1 người còn lại để khiêu vũ. Số cách chọn này là:
\[ \binom{8}{5} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = \frac{8!}{5!(8-5)!} \times \frac{3!}{2!(3-2)!} \times \frac{1!}{1!(1-1)!} = 56 \times 3 \times 1 = 168 \]

Xác suất để một người cụ thể đăng ký vào một hoạt động cụ thể là \(\frac{1}{3}\). Do đó, xác suất để 5 người cắm hoa, 2 người nấu ăn, và 1 người khiêu vũ là:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^5 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \left(\frac{1}{3}\right)^8 = \frac{1}{6561} \]

Do đó, xác suất để có 5 người cắm hoa, 2 người nấu ăn, và 1 người khiêu vũ là:
\[ 168 \times \frac{1}{6561} = \frac{168}{6561} \]

Tóm lại:
a) Xác suất cả 8 người đều đăng kí vào khiêu vũ là \(\frac{1}{6561}\).
b) Xác suất 8 người đăng kí vào 1 hoạt động là \(\frac{3}{6561}\).
c) Xác suất có 5 người cắm hoa, 2 người nấu ăn, 1 người khiêu vũ là \(\frac{168}{6561}\).