Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Vẽ dây cung \(CD\) sao cho góc \(\angle COD = 90^\circ\).

a. Độ dài cung \(CD\):

Góc ở tâm \(\angle COD = 90^\circ\) tương ứng với \(\frac{1}{4}\) chu vi của đường tròn. Chu vi của đường tròn là \(2\pi R\).

Do đó, độ dài cung \(CD\) là:
\[ \text{Độ dài cung } CD = \frac{1}{4} \times 2\pi R = \frac{\pi R}{2} \]

b. Độ dài dây \(CD\):

Dây \(CD\) là cạnh đối diện của tam giác vuông \(OCD\) với \(\angle COD = 90^\circ\). Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc vuông là đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác vuông đó. Tuy nhiên, ở đây chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài dây \(CD\).

Trong tam giác vuông \(OCD\):
\[ OC = OD = R \]
\[ CD = \sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} \]

c. Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OC\), \(OD\) và cung nhỏ \(CD\):

Diện tích hình quạt tròn với góc ở tâm \(90^\circ\) là \(\frac{1}{4}\) diện tích của đường tròn.

Diện tích của đường tròn là:
\[ \pi R^2 \]

Do đó, diện tích hình quạt là:
\[ \text{Diện tích hình quạt} = \frac{1}{4} \times \pi R^2 = \frac{\pi R^2}{4} \]

Tóm lại:
a. Độ dài cung \(CD\) là \(\frac{\pi R}{2}\).
b. Độ dài dây \(CD\) là \(R\sqrt{2}\).
c. Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OC\), \(OD\) và cung nhỏ \(CD\) là \(\frac{\pi R^2}{4}\).