Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác HEAF trong tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH, ta cần phân tích các yếu tố liên quan.

Trước hết, ta có tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH từ A đến BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC.

1. **Tính diện tích tam giác ABC:**
- Tam giác ABC vuông tại A, nên diện tích tam giác ABC là:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC
\]
- Biết BC = 6 cm, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies 6^2 = AB^2 + AC^2 \implies AB^2 + AC^2 = 36
\]

2. **Tính diện tích tứ giác HEAF:**
- Diện tích tứ giác HEAF bằng diện tích tam giác AHE cộng với diện tích tam giác AHF:
\[
S_{HEAF} = S_{AHE} + S_{AHF}
\]
- Diện tích tam giác AHE và AHF có thể được tính bằng cách sử dụng đường cao từ H đến AB và AC.

3. **Tính chiều cao AH:**
- Đường cao AH trong tam giác vuông ABC có thể được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
- Ta có:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{6}
\]

4. **Tính diện tích tam giác AHE và AHF:**
- Diện tích tam giác AHE:
\[
S_{AHE} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HE
\]
- Diện tích tam giác AHF:
\[
S_{AHF} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HF
\]

5. **Tính diện tích tứ giác HEAF:**
- Tổng diện tích tứ giác HEAF là:
\[
S_{HEAF} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot (HE + HF)
\]
- Vì HE và HF là hình chiếu của H trên AB và AC, nên:
\[
HE = \frac{AB^2}{BC}, \quad HF = \frac{AC^2}{BC}
\]
- Do đó:
\[
HE + HF = \frac{AB^2 + AC^2}{BC} = \frac{36}{6} = 6
\]
- Vậy diện tích tứ giác HEAF là:
\[
S_{HEAF} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot 6 = 3 \cdot AH
\]

6. **Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác HEAF:**
- Để diện tích tứ giác HEAF lớn nhất, AH phải lớn nhất.
- AH đạt giá trị lớn nhất khi tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, tức là AB = AC.
- Khi đó:
\[
AB = AC = \sqrt{\frac{36}{2}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
\]
- Khi đó:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{(3\sqrt{2})^2}{6} = \frac{18}{6} = 3
\]
- Vậy diện tích lớn nhất của tứ giác HEAF là:
\[
S_{HEAF} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ cm}^2
\]

Kết luận: Giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác HEAF là 9 cm².