Để chứng minh rằng biểu thức \( M = (2k-3)(3m-2) - (3k-2)(2m-3) \) luôn chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của \( k \) và \( m \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Mở rộng biểu thức \( M \):**

\[
M = (2k-3)(3m-2) - (3k-2)(2m-3)
\]

2. **Phân phối các hạng tử:**

\[
M = (2k \cdot 3m + 2k \cdot (-2) + (-3) \cdot 3m + (-3) \cdot (-2)) - (3k \cdot 2m + 3k \cdot (-3) + (-2) \cdot 2m + (-2) \cdot (-3))
\]

3. **Tính toán từng phần:**

\[
M = (6km - 4k - 9m + 6) - (6km - 9k - 4m + 6)
\]

4. **Kết hợp các hạng tử giống nhau:**

\[
M = 6km - 4k - 9m + 6 - 6km + 9k + 4m - 6
\]

5. **Rút gọn biểu thức:**

\[
M = (6km - 6km) + (-4k + 9k) + (-9m + 4m) + (6 - 6)
\]

\[
M = 0 + 5k - 5m + 0
\]

\[
M = 5k - 5m
\]

6. **Phân tích \( M \):**

\[
M = 5(k - m)
\]

7. **Kết luận:**

Vì \( M = 5(k - m) \) và \( k - m \) là một số nguyên, nên \( M \) luôn chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của \( k \) và \( m \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng biểu thức \( M \) luôn chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của \( k \) và \( m \).