Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thoi, trung tuyến, và các đường song song trong tam giác cân.

### a) Chứng minh: APMN là hình thoi.

1. **Tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( \Delta ABC \) cân tại \( A \) nên \( AB = AC \).

2. **Trung tuyến AM:**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).

3. **Đường thẳng qua \( M \) song song với \( AC \) và cắt \( AB \) tại \( N \):**
- Vì \( MN \parallel AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( N \) là trung điểm của \( AB \) (tính chất đường trung bình của tam giác).

4. **Đường thẳng qua \( M \) song song với \( AB \) và cắt \( AC \) tại \( P \):**
- Tương tự, \( MP \parallel AB \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( P \) là trung điểm của \( AC \).

5. **Chứng minh hình thoi:**
- \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( P \) là trung điểm của \( AC \).
- \( MN \parallel AC \) và \( MP \parallel AB \).
- Tứ giác \( APMN \) có các cạnh đối song song và bằng nhau (do \( N \) và \( P \) là trung điểm), nên \( APMN \) là hình bình hành.
- Trong hình bình hành \( APMN \), \( AM \) là trung tuyến của tam giác cân \( \Delta ABC \), nên \( AM \) vuông góc với \( BC \).
- Do đó, \( APMN \) là hình thoi vì hai đường chéo vuông góc nhau.

### b) Lấy \( K \) sao cho \( NP \) là trung điểm \( NP \). Chứng minh \( O \) là trung điểm \( BK \).

Có lẽ có sự nhầm lẫn trong đề bài. Chúng ta sẽ sửa lại đề bài để hợp lý hơn:

**Sửa lại đề bài:**
Lấy \( K \) sao cho \( K \) là trung điểm của \( NP \). Chứng minh \( O \) là trung điểm của \( BK \).

1. **Tính chất của hình thoi:**
- \( APMN \) là hình thoi nên \( NP \) là đường chéo của hình thoi và vuông góc với \( AM \) tại \( M \).

2. **Trung điểm \( K \):**
- \( K \) là trung điểm của \( NP \).

3. **Chứng minh \( O \) là trung điểm của \( BK \):**
- \( O \) là giao điểm của \( AM \) và \( NP \).
- Trong hình thoi, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Do đó, \( O \) là trung điểm của \( NP \) và \( AM \).
- Vì \( K \) là trung điểm của \( NP \), nên \( O \) cũng là trung điểm của \( BK \).

### c) Gọi \( O \) là giao điểm \( AM \) và \( NP \). Chứng minh \( O \) là trung điểm \( BK \).

1. **Tính chất của hình thoi:**
- \( APMN \) là hình thoi nên \( NP \) và \( AM \) là hai đường chéo của hình thoi và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

2. **Chứng minh \( O \) là trung điểm của \( BK \):**
- \( O \) là giao điểm của \( AM \) và \( NP \).
- Trong hình thoi, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Do đó, \( O \) là trung điểm của \( NP \) và \( AM \).
- Vì \( K \) là trung điểm của \( NP \), nên \( O \) cũng là trung điểm của \( BK \).

### d) Tìm điều kiện để \( \Delta ABC \) là hình vuông.

1. **Điều kiện để \( \Delta ABC \) là hình vuông:**
- Tam giác \( \Delta ABC \) là tam giác cân tại \( A \).
- Để \( \Delta ABC \) là hình vuông, cần có \( \angle BAC = 90^\circ \).

2. **Chứng minh:**
- Nếu \( \angle BAC = 90^\circ \), thì \( \Delta ABC \) là tam giác vuông cân tại \( A \).
- Khi đó, \( AB = AC \) và \( \angle BAC = 90^\circ \), nên \( \Delta ABC \) là hình vuông.

Vậy điều kiện để \( \Delta ABC \) là hình vuông là \( \angle BAC = 90^\circ \).