Để tìm số tự nhiên \( a \), ta cần giải phương trình sau:

Khi thêm \( a \) vào tử số của phân số \(\frac{17}{35}\) và giữ nguyên mẫu số, ta được phân số mới có giá trị bằng \(\frac{3}{5}\).

Phân số mới sẽ là \(\frac{17 + a}{35}\).

Theo đề bài, ta có phương trình:
\[
\frac{17 + a}{35} = \frac{3}{5}
\]

Để giải phương trình này, ta thực hiện phép nhân chéo:
\[
5 \cdot (17 + a) = 3 \cdot 35
\]

Tính toán:
\[
5 \cdot (17 + a) = 105
\]

Chia đều hai vế cho 5:
\[
17 + a = 21
\]

Trừ 17 từ cả hai vế:
\[
a = 21 - 17
\]

Kết quả:
\[
a = 4
\]

Vậy số tự nhiên \( a \) là \( 4 \).