Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của tam giác, đường cao và các hình học cơ bản. Dưới đây là các bước chi tiết để chứng minh các phần của bài toán:

### a. Chứng minh \( AH \) vuông góc với \( BC \)

- \( H \) là giao điểm của các đường cao \( BD \) và \( CE \) của tam giác \( ABC \), do đó \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).
- Trong tam giác \( ABC \), đường cao từ \( A \) đến \( BC \) cũng đi qua trực tâm \( H \).
- Do đó, \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \), nên \( AH \) vuông góc với \( BC \).

### b. Chứng minh tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành

- \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), nên \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- \( K \) là giao điểm của đường vuông góc từ \( C \) đến \( AC \) và \( BD \). Do đó, \( CK \) vuông góc với \( AC \).
- \( BD \) là đường cao từ \( B \) đến \( AC \), nên \( BD \) vuông góc với \( AC \).
- Từ các tính chất trên, ta có:
- \( BH \parallel CK \) (vì cả hai đều vuông góc với \( AC \)).
- \( BH = CK \) (vì \( H \) và \( K \) là các điểm trên các đường cao của tam giác).
- Tứ giác \( BHCK \) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó \( BHCK \) là hình bình hành.

### c. Gọi \( I \) là trung điểm của \( AK \), \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh 3 điểm \( M \), \( H \), \( K \) thẳng hàng và \( IM = \frac{AH}{2} \)

- \( M \) là trung điểm của \( BC \), \( I \) là trung điểm của \( AK \).
- Trong tam giác \( ABC \), \( H \) là trực tâm, nên \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \).
- Đường trung bình của tam giác \( AHK \) nối trung điểm của hai cạnh \( AK \) và \( AH \) sẽ song song với cạnh còn lại và bằng nửa độ dài cạnh đó.
- Do đó, \( IM \) là đường trung bình của tam giác \( AHK \), nên \( IM \parallel HK \) và \( IM = \frac{AH}{2} \).
- Vì \( K \) nằm trên đường cao từ \( C \) đến \( AC \), và \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( M \), \( H \), \( K \) thẳng hàng (đường thẳng \( MH \) là đường trung bình của tam giác \( BHC \)).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.