Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

**a. Tính BC**

Tam giác vuông tại A có AB = 9 cm và AC = 12 cm. Ta sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Thay số vào:

\[ BC^2 = 9^2 + 12^2 \]
\[ BC^2 = 81 + 144 \]
\[ BC^2 = 225 \]
\[ BC = \sqrt{225} \]
\[ BC = 15 \text{ cm} \]

Vậy, BC = 15 cm.

**b. Kẻ phân giác AD của tam giác ABC. Chứng minh \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)**

Theo định lý phân giác trong tam giác, phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó. Cụ thể, trong tam giác ABC, phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn BD và DC sao cho:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]

Vì AB = 9 cm và AC = 12 cm, ta có:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]

Do đó, theo định lý phân giác, ta có:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{3}{4} \]

Điều này chứng minh rằng:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]

**c. Tính AD**

Để tính độ dài phân giác AD, ta sử dụng công thức tính độ dài phân giác trong tam giác:

\[ AD = \frac{\sqrt{AB \cdot AC \cdot (AB + AC + BC) \cdot (AB + AC - BC)}}{AB + AC} \]

Thay số vào:

\[ AD = \frac{\sqrt{9 \cdot 12 \cdot (9 + 12 + 15) \cdot (9 + 12 - 15)}}{9 + 12} \]
\[ AD = \frac{\sqrt{9 \cdot 12 \cdot 36 \cdot 6}}{21} \]
\[ AD = \frac{\sqrt{23328}}{21} \]
\[ AD = \frac{6 \sqrt{648}}{21} \]
\[ AD = \frac{6 \cdot 6 \sqrt{18}}{21} \]
\[ AD = \frac{36 \sqrt{18}}{21} \]
\[ AD = \frac{12 \sqrt{18}}{7} \]

Vậy, độ dài phân giác AD là \(\frac{12 \sqrt{18}}{7}\) cm.