Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### Phần a: Chứng minh \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{BC}\)

1. **Sử dụng định lý Pythagore để tính BC:**

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nên theo định lý Pythagore ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

2. **Sử dụng định lý phân giác trong tam giác:**

Định lý phân giác trong tam giác cho biết rằng đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó. Cụ thể, với tam giác \(ABC\) và phân giác \(AD\), ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

3. **Chứng minh \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{BC}\):**

Từ định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]

Gọi \(BD = x\) và \(DC = y\). Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{x}{y} = \frac{3}{4}
\]

Vì \(BC = BD + DC\), nên:
\[
x + y = 15
\]

Thay \(y = \frac{4}{3}x\) vào phương trình trên:
\[
x + \frac{4}{3}x = 15
\]
\[
\frac{7}{3}x = 15
\]
\[
x = \frac{15 \times 3}{7} = \frac{45}{7} \approx 6.43 \text{ cm}
\]

Do đó, \(BD = x = \frac{45}{7}\) và \(BC = 15\), ta có:
\[
\frac{BD}{BC} = \frac{\frac{45}{7}}{15} = \frac{45}{7 \times 15} = \frac{45}{105} = \frac{3}{7}
\]

Tuy nhiên, từ định lý phân giác, ta đã có \(\frac{BD}{DC} = \frac{3}{4}\), và \(DC = \frac{4}{3}BD\). Điều này dẫn đến:
\[
\frac{BD}{BC} = \frac{BD}{BD + DC} = \frac{BD}{BD + \frac{4}{3}BD} = \frac{BD}{\frac{7}{3}BD} = \frac{3}{7}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{BC}\).

### Phần b: Tính \(AD\)

1. **Sử dụng công thức tính độ dài đường phân giác trong tam giác vuông:**

Độ dài đường phân giác \(AD\) trong tam giác vuông \(ABC\) có thể được tính bằng công thức:
\[
AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC}
\]

Thay các giá trị \(AB = 9\) cm và \(AC = 12\) cm vào công thức:
\[
AD = \frac{2 \cdot 9 \cdot 12}{9 + 12} = \frac{2 \cdot 108}{21} = \frac{216}{21} = \frac{72}{7} \approx 10.29 \text{ cm}
\]

Vậy, độ dài đường phân giác \(AD\) là \(\frac{72}{7}\) cm, xấp xỉ 10.29 cm.