Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học cơ bản liên quan đến đường tròn và tam giác vuông.

1. **Xác định các điểm và đoạn thẳng liên quan:**
- Đường tròn (O) có bán kính \( OA = 3 \) cm.
- Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA.

2. **Xác định trung điểm của OA:**
- Gọi trung điểm của OA là M.
- Vì M là trung điểm của OA, nên \( OM = \frac{OA}{2} = \frac{3}{2} \) cm.

3. **Xác định vị trí của BC:**
- Vì BC vuông góc với OA tại M, nên M là trung điểm của BC.
- Gọi B và C là hai điểm trên đường tròn sao cho BC là dây cung.

4. **Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OMB:**
- Tam giác OMB vuông tại M.
- \( OB \) là bán kính của đường tròn, nên \( OB = 3 \) cm.
- \( OM = \frac{3}{2} \) cm.

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OMB:
\[
OB^2 = OM^2 + MB^2
\]
\[
3^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + MB^2
\]
\[
9 = \frac{9}{4} + MB^2
\]
\[
MB^2 = 9 - \frac{9}{4}
\]
\[
MB^2 = \frac{36}{4} - \frac{9}{4}
\]
\[
MB^2 = \frac{27}{4}
\]
\[
MB = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}
\]

5. **Tính độ dài BC:**
- Vì M là trung điểm của BC, nên \( BC = 2 \times MB \).
\[
BC = 2 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Vậy độ dài của dây BC là \( 3\sqrt{3} \) cm.