Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của tam giác vuông và đường cao.

### a) Tính độ dài BH, AH

Tam giác ABC vuông tại A, có AB = 15 cm và BC = 25 cm. Để tính độ dài AC, ta sử dụng định lý Pythagore:

\[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm} \]

Đường cao AH từ A vuông góc với BC chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là AHB và AHC. Ta có:

\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12 \text{ cm} \]

Để tính độ dài BH, ta sử dụng công thức:

\[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ cm} \]

### b) Chứng minh: \(\frac{CH}{CD} = \frac{CK}{CB}\)

Để chứng minh điều này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường cao.

Gọi D là chân đường cao từ C xuống AB. Ta có:

\[ CD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12 \text{ cm} \]

Do đó, \(CH = BC - BH = 25 - 9 = 16 \text{ cm}\).

Bây giờ, ta cần chứng minh:

\[ \frac{CH}{CD} = \frac{CK}{CB} \]

Ta biết rằng \(CH = 16 \text{ cm}\) và \(CD = 12 \text{ cm}\). Vậy:

\[ \frac{CH}{CD} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \]

Do \(AK \perp DC\) tại K, tam giác AKC là tam giác vuông tại K. Ta có:

\[ CK = \frac{AC \cdot AK}{CD} \]

Vì \(AK\) là đường cao từ A đến DC, ta có:

\[ CK = \frac{20 \cdot AK}{12} \]

Vậy:

\[ \frac{CK}{CB} = \frac{\frac{20 \cdot AK}{12}}{25} = \frac{20 \cdot AK}{300} = \frac{AK}{15} \]

Do đó, để chứng minh \(\frac{CH}{CD} = \frac{CK}{CB}\), ta cần chứng minh:

\[ \frac{4}{3} = \frac{AK}{15} \]

Tuy nhiên, điều này không đúng vì \(AK\) không phải là một giá trị cố định mà phụ thuộc vào vị trí của điểm K. Do đó, có thể có một sai sót trong giả thiết hoặc cách tiếp cận bài toán này.

### c) Chứng minh \(\angle BDK + \angle BHK = 180^\circ\)

Để chứng minh điều này, ta cần xem xét các góc trong tam giác vuông và các đường cao.

Do \(AK \perp DC\) tại K, ta có:

\[ \angle AKD = 90^\circ \]

Vì \(AH \perp BC\) tại H, ta có:

\[ \angle AHB = 90^\circ \]

Do đó, trong tứ giác BDKH, ta có:

\[ \angle BDK + \angle BHK = 180^\circ \]

Điều này là do tổng các góc trong tứ giác là \(360^\circ\) và hai góc vuông tại K và H cộng lại là \(180^\circ\).

Vậy, ta đã chứng minh được \(\angle BDK + \angle BHK = 180^\circ\).