Để chứng minh bất đẳng thức \(\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}\) cho tam giác ABC, ta sẽ sử dụng một số tính chất và bất đẳng thức cơ bản trong hình học.

1. **Tính chất của góc trong tam giác:**
Trong một tam giác, tổng ba góc bằng \(180^\circ\) hay \(\pi\) radian:
\[
A + B + C = \pi
\]

2. **Sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm cos:**
Hàm \(\cos\) là hàm lồi trên đoạn \([0, \pi]\). Theo bất đẳng thức Jensen, với các góc \(A, B, C\) của tam giác, ta có:
\[
\cos A + \cos B + \cos C \leq 3 \cos \left(\frac{A + B + C}{3}\right)
\]
Vì \(A + B + C = \pi\), ta có:
\[
\cos \left(\frac{A + B + C}{3}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\]
Do đó:
\[
\cos A + \cos B + \cos C \leq 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]

3. **Kết luận:**
Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}
\]

Điều này hoàn tất chứng minh.