Cho hình bình hành ABCD có \( AD = 2AB \). Từ \( C \) kẻ \( CE \) vuông góc với \( AB \) (\( E \) thuộc \( AB \)). Nối \( E \) với trung điểm \( M \) của \( AD \). Từ \( M \) kẻ \( MF \) vuông góc với \( CE \) (\( F \) thuộc \( CE \)), \( MF \) cắt \( BC \) tại \( N \).

a. Tứ giác \( MNCD \) là hình gì? Vì sao?

**Chứng minh:**

- Ta có \( ABCD \) là hình bình hành nên \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( M \) nằm trên đường trung bình của hình bình hành \( ABCD \).
- \( MF \) vuông góc với \( CE \) tại \( F \), và \( CE \) vuông góc với \( AB \), nên \( MF \parallel AB \).
- \( MF \) cắt \( BC \) tại \( N \), nên \( N \) là điểm trên \( BC \).

Do \( MF \parallel AB \) và \( AB \parallel CD \), ta có \( MF \parallel CD \). Vì \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( MN \parallel CD \) và \( MN = \frac{1}{2}CD \).

Vậy tứ giác \( MNCD \) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên \( MNCD \) là hình bình hành.

b. Tam giác \( MEC \) là tam giác gì? Vì sao?

**Chứng minh:**

- Ta có \( CE \) vuông góc với \( AB \), nên \( \angle CEA = 90^\circ \).
- \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( AM = MD \).
- Trong tam giác \( ADE \), \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( ME \) là đường trung tuyến.

Do đó, trong tam giác \( MEC \), \( ME \) là đường trung tuyến ứng với cạnh \( CE \) và \( \angle CEA = 90^\circ \).

Vậy tam giác \( MEC \) là tam giác cân tại \( M \).

c. Chứng minh \( \angle BAD = 2 \angle AEM \).

**Chứng minh:**

- Ta có \( AD = 2AB \), nên \( \triangle ABD \) là tam giác cân tại \( A \) với \( AD = 2AB \).
- Gọi \( O \) là trung điểm của \( AB \), thì \( AO = OB = \frac{1}{2}AB \).
- Trong tam giác \( ADE \), \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( AM = MD = \frac{1}{2}AD = AB \).

Do đó, \( \triangle AEM \) là tam giác cân tại \( A \) với \( AM = AB \).

- Gọi \( \angle BAD = \alpha \), thì \( \angle AEM = \frac{\alpha}{2} \) vì \( M \) là trung điểm của \( AD \) và \( \triangle AEM \) là tam giác cân tại \( A \).

Vậy \( \angle BAD = 2 \angle AEM \).