Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính từng bước một. Đầu tiên, chúng ta sẽ phân phối \( \frac{5}{31} \) vào từng phân số trong biểu thức:

\[ \frac{5}{31} \times \frac{21}{25} + \frac{5}{31} \times \left(-\frac{7}{10}\right) - \frac{5}{31} \times \frac{9}{20} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng phép nhân một:

1. \(\frac{5}{31} \times \frac{21}{25}\):

\[ \frac{5 \times 21}{31 \times 25} = \frac{105}{775} \]

2. \(\frac{5}{31} \times \left(-\frac{7}{10}\right)\):

\[ \frac{5 \times -7}{31 \times 10} = \frac{-35}{310} \]

3. \(\frac{5}{31} \times \frac{9}{20}\):

\[ \frac{5 \times 9}{31 \times 20} = \frac{45}{620} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số các phân số này để cộng và trừ chúng. Mẫu số chung của 775, 310 và 620 là 7750 (bạn có thể tìm mẫu số chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các mẫu số thành thừa số nguyên tố và lấy bội số chung nhỏ nhất).

Chúng ta sẽ quy đồng các phân số:

1. \(\frac{105}{775}\):

\[ \frac{105 \times 10}{775 \times 10} = \frac{1050}{7750} \]

2. \(\frac{-35}{310}\):

\[ \frac{-35 \times 25}{310 \times 25} = \frac{-875}{7750} \]

3. \(\frac{45}{620}\):

\[ \frac{45 \times 12.5}{620 \times 12.5} = \frac{562.5}{7750} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng và trừ các phân số này:

\[ \frac{1050}{7750} + \frac{-875}{7750} - \frac{562.5}{7750} \]

\[ = \frac{1050 - 875 - 562.5}{7750} \]

\[ = \frac{1050 - 875 - 562.5}{7750} \]

\[ = \frac{1050 - 1437.5}{7750} \]

\[ = \frac{-387.5}{7750} \]

Cuối cùng, chúng ta có thể rút gọn phân số này:

\[ \frac{-387.5}{7750} = \frac{-3875}{77500} = \frac{-155}{3100} = \frac{-31}{620} = \frac{-1}{20} \]

Vậy kết quả của biểu thức là:

\[ \frac{-1}{20} \]