Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Tính diện tích hình tam giác ABC

Hình vuông ABCD có cạnh 6 cm, do đó:
- Độ dài cạnh AB = BC = CD = DA = 6 cm.

Tam giác ABC là tam giác vuông tại B (vì ABCD là hình vuông).

Diện tích tam giác vuông ABC được tính bằng công thức:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \]

Thay số vào:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \, \text{cm}^2 \]

### b. Tính diện tích tứ giác AECD

Để tính diện tích tứ giác AECD, ta cần xác định vị trí của điểm E và P trên đường chéo BD.

1. **Tìm tọa độ điểm E và P:**

Đường chéo BD của hình vuông ABCD có độ dài:
\[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \]

Vì BE = EP = PD, nên mỗi đoạn này bằng:
\[ BE = EP = PD = \frac{BD}{3} = \frac{6\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2} \, \text{cm} \]

Điểm E chia BD thành ba đoạn bằng nhau, do đó E nằm cách B một đoạn bằng \(2\sqrt{2}\) cm.

2. **Tính diện tích tứ giác AECD:**

Tứ giác AECD có thể được chia thành hai phần: tam giác AED và tam giác ECD.

- **Diện tích tam giác AED:**

Tam giác AED có cạnh AD = 6 cm và chiều cao từ E đến AD là 6 cm (vì E nằm trên đường chéo BD của hình vuông).

Diện tích tam giác AED:
\[ S_{AED} = \frac{1}{2} \times AD \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \, \text{cm}^2 \]

- **Diện tích tam giác ECD:**

Tam giác ECD là tam giác vuông tại C, với cạnh CD = 6 cm và chiều cao từ E đến CD là 6 cm.

Diện tích tam giác ECD:
\[ S_{ECD} = \frac{1}{2} \times CD \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \, \text{cm}^2 \]

Tổng diện tích tứ giác AECD:
\[ S_{AECD} = S_{AED} + S_{ECD} = 18 + 18 = 36 \, \text{cm}^2 \]

### Kết quả:
a. Diện tích hình tam giác ABC là \(18 \, \text{cm}^2\).

b. Diện tích tứ giác AECD là \(36 \, \text{cm}^2\).