Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x + 2\sqrt{x} + \frac{49}{\sqrt{x}} \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm các điểm cực trị.

Trước hết, đặt \( t = \sqrt{x} \). Khi đó, \( x = t^2 \) và biểu thức \( A \) trở thành:
\[ A = t^2 + 2t + \frac{49}{t} \]

Bây giờ, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \) theo \( t \). Để làm điều này, ta tính đạo hàm của \( A \) theo \( t \):
\[ \frac{dA}{dt} = 2t + 2 - \frac{49}{t^2} \]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:
\[ 2t + 2 - \frac{49}{t^2} = 0 \]

Giải phương trình này:
\[ 2t + 2 = \frac{49}{t^2} \]
\[ 2t^3 + 2t^2 = 49 \]
\[ t^3 + t^2 = \frac{49}{2} \]

Đây là một phương trình bậc ba, có thể khó giải trực tiếp. Tuy nhiên, ta có thể thử các giá trị hợp lý của \( t \) để tìm nghiệm.

Giả sử \( t = 3 \):
\[ 3^3 + 3^2 = 27 + 9 = 36 \]

Giả sử \( t = 2 \):
\[ 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 \]

Giả sử \( t = 2.5 \):
\[ 2.5^3 + 2.5^2 = 15.625 + 6.25 = 21.875 \]

Giả sử \( t = 3.5 \):
\[ 3.5^3 + 3.5^2 = 42.875 + 12.25 = 55.125 \]

Giả sử \( t = 2.8 \):
\[ 2.8^3 + 2.8^2 = 21.952 + 7.84 = 29.792 \]

Giả sử \( t = 2.7 \):
\[ 2.7^3 + 2.7^2 = 19.683 + 7.29 = 26.973 \]

Giả sử \( t = 2.6 \):
\[ 2.6^3 + 2.6^2 = 17.576 + 6.76 = 24.336 \]

Giả sử \( t = 2.4 \):
\[ 2.4^3 + 2.4^2 = 13.824 + 5.76 = 19.584 \]

Giả sử \( t = 2.3 \):
\[ 2.3^3 + 2.3^2 = 12.167 + 5.29 = 17.457 \]

Giả sử \( t = 2.2 \):
\[ 2.2^3 + 2.2^2 = 10.648 + 4.84 = 15.488 \]

Giả sử \( t = 2.1 \):
\[ 2.1^3 + 2.1^2 = 9.261 + 4.41 = 13.671 \]

Giả sử \( t = 2.05 \):
\[ 2.05^3 + 2.05^2 = 8.615125 + 4.2025 = 12.817625 \]

Giả sử \( t = 2.04 \):
\[ 2.04^3 + 2.04^2 = 8.486464 + 4.1616 = 12.648064 \]

Giả sử \( t = 2.03 \):
\[ 2.03^3 + 2.03^2 = 8.358827 + 4.1209 = 12.479727 \]

Giả sử \( t = 2.02 \):
\[ 2.02^3 + 2.02^2 = 8.232208 + 4.0804 = 12.312608 \]

Giả sử \( t = 2.01 \):
\[ 2.01^3 + 2.01^2 = 8.106601 + 4.0401 = 12.146701 \]

Giả sử \( t = 2 \):
\[ 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 \]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là khi \( t = 2 \), tức là \( \sqrt{x} = 2 \) hay \( x = 4 \).

Thay giá trị \( x = 4 \) vào biểu thức \( A \):
\[ A = 4 + 2\sqrt{4} + \frac{49}{\sqrt{4}} = 4 + 4 + \frac{49}{2} = 8 + 24.5 = 32.5 \]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 32.5 \).