Chúng ta sẽ giải hệ phương trình sau:

\[ x + my = 2m \quad (1) \]
\[ mx + y = 1 - m \quad (2) \]

1. **Giải hệ khi \( m = 1 \)**:

Thay \( m = 1 \) vào hệ phương trình, ta có:

\[ x + y = 2 \quad (1') \]
\[ x + y = 0 \quad (2') \]

Rõ ràng, hai phương trình này mâu thuẫn với nhau (vì \( x + y \) không thể vừa bằng 2 vừa bằng 0). Do đó, hệ phương trình không có nghiệm khi \( m = 1 \).

2. **Tìm các giá trị \( m \) nguyên để \( x, y \) cùng nguyên**:

Để tìm các giá trị \( m \) nguyên để \( x \) và \( y \) cùng nguyên, ta cần giải hệ phương trình tổng quát. Trước hết, ta nhân phương trình (1) với \( m \) và trừ phương trình (2) để loại bỏ \( y \):

\[ m(x + my) = 2m^2 \]
\[ mx + y = 1 - m \]

Nhân phương trình (1) với \( m \):

\[ mx + m^2y = 2m^2 \quad (3) \]

Trừ phương trình (2) từ phương trình (3):

\[ mx + m^2y - (mx + y) = 2m^2 - (1 - m) \]
\[ m^2y - y = 2m^2 - 1 + m \]
\[ y(m^2 - 1) = 2m^2 + m - 1 \]
\[ y = \frac{2m^2 + m - 1}{m^2 - 1} \]

Để \( y \) là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta phân tích mẫu số:

\[ m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1) \]

Do đó, \( y \) là số nguyên khi \( \frac{2m^2 + m - 1}{(m - 1)(m + 1)} \) là số nguyên. Ta cần kiểm tra các giá trị \( m \) nguyên để biểu thức này là số nguyên.

3. **Tìm hệ liên hệ giữa \( x \) và \( y \) không phụ thuộc vào tham số \( m \)**:

Từ hệ phương trình ban đầu:

\[ x + my = 2m \quad (1) \]
\[ mx + y = 1 - m \quad (2) \]

Nhân phương trình (1) với \( m \):

\[ mx + m^2y = 2m^2 \quad (3) \]

Trừ phương trình (2) từ phương trình (3):

\[ mx + m^2y - (mx + y) = 2m^2 - (1 - m) \]
\[ m^2y - y = 2m^2 - 1 + m \]
\[ y(m^2 - 1) = 2m^2 + m - 1 \]
\[ y = \frac{2m^2 + m - 1}{m^2 - 1} \]

Từ phương trình (2):

\[ mx + y = 1 - m \]
\[ y = 1 - m - mx \]

Thay giá trị của \( y \) từ phương trình trên vào phương trình (1):

\[ x + m(1 - m - mx) = 2m \]
\[ x + m - m^2 - m^2x = 2m \]
\[ x(1 - m^2) = 2m - m \]
\[ x(1 - m^2) = m \]
\[ x = \frac{m}{1 - m^2} \]

Để \( x \) là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta cần kiểm tra các giá trị \( m \) nguyên để biểu thức này là số nguyên.

Tóm lại, hệ liên hệ giữa \( x \) và \( y \) không phụ thuộc vào tham số \( m \) là:

\[ x = \frac{m}{1 - m^2} \]
\[ y = \frac{2m^2 + m - 1}{m^2 - 1} \]

Để \( x \) và \( y \) cùng nguyên, ta cần kiểm tra các giá trị \( m \) nguyên để các biểu thức này là số nguyên.