Để tìm giá trị của \( x \) sao cho biểu thức \( A = \frac{x - 3}{x + 2} \) là một số nguyên, ta cần phân tích điều kiện để \( \frac{x - 3}{x + 2} \) là một số nguyên.

Giả sử \( A = k \) là một số nguyên, ta có:
\[ \frac{x - 3}{x + 2} = k \]

Từ đó, ta suy ra:
\[ x - 3 = k(x + 2) \]

Giải phương trình này để tìm \( x \):
\[ x - 3 = kx + 2k \]
\[ x - kx = 2k + 3 \]
\[ x(1 - k) = 2k + 3 \]
\[ x = \frac{2k + 3}{1 - k} \]

Để \( x \) là một số nguyên, thì \( \frac{2k + 3}{1 - k} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 1 - k \) phải là một ước của \( 2k + 3 \).

Bây giờ, ta sẽ thử một số giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( x \):

1. **Nếu \( k = 1 \)**:
\[ x = \frac{2(1) + 3}{1 - 1} = \frac{5}{0} \]
Điều này không xác định, do đó \( k = 1 \) không phải là một giá trị hợp lệ.

2. **Nếu \( k = 2 \)**:
\[ x = \frac{2(2) + 3}{1 - 2} = \frac{4 + 3}{-1} = \frac{7}{-1} = -7 \]
Vậy \( x = -7 \) là một giá trị hợp lệ.

3. **Nếu \( k = 0 \)**:
\[ x = \frac{2(0) + 3}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3 \]
Vậy \( x = 3 \) là một giá trị hợp lệ.

4. **Nếu \( k = -1 \)**:
\[ x = \frac{2(-1) + 3}{1 - (-1)} = \frac{-2 + 3}{1 + 1} = \frac{1}{2} \]
\( x = \frac{1}{2} \) không phải là số nguyên, do đó \( k = -1 \) không phải là một giá trị hợp lệ.

5. **Nếu \( k = -2 \)**:
\[ x = \frac{2(-2) + 3}{1 - (-2)} = \frac{-4 + 3}{1 + 2} = \frac{-1}{3} \]
\( x = \frac{-1}{3} \) không phải là số nguyên, do đó \( k = -2 \) không phải là một giá trị hợp lệ.

Từ các giá trị \( k \) đã thử, ta tìm được hai giá trị nguyên của \( x \) là \( x = -7 \) và \( x = 3 \).

Vậy, các giá trị của \( x \) để \( A = \frac{x - 3}{x + 2} \) là số nguyên là:
\[ x = -7 \text{ hoặc } x = 3 \]