Để giải bài toán này, ta sẽ lập phương trình dựa trên các thông tin đã cho. Gọi \( x \) là số sản phẩm mà xí nghiệp 1 phải làm theo kế hoạch và \( y \) là số sản phẩm mà xí nghiệp 2 phải làm theo kế hoạch. Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

1. Tổng số sản phẩm theo kế hoạch của cả hai xí nghiệp là 360:
\[
x + y = 360
\]

2. Xí nghiệp 1 vượt mức 12%, tức là số sản phẩm thực tế của xí nghiệp 1 là \( x + 0.12x = 1.12x \).

3. Xí nghiệp 2 vượt mức 10%, tức là số sản phẩm thực tế của xí nghiệp 2 là \( y + 0.10y = 1.10y \).

4. Tổng số sản phẩm thực tế của cả hai xí nghiệp là 400:
\[
1.12x + 1.10y = 400
\]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 360 \\
1.12x + 1.10y = 400
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này như sau:

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
y = 360 - x
\]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[
1.12x + 1.10(360 - x) = 400
\]

Giải phương trình trên:
\[
1.12x + 396 - 1.10x = 400
\]
\[
0.02x + 396 = 400
\]
\[
0.02x = 4
\]
\[
x = \frac{4}{0.02} = 200
\]

Thay \( x = 200 \) vào phương trình \( y = 360 - x \):
\[
y = 360 - 200 = 160
\]

Vậy, số sản phẩm mà xí nghiệp 1 phải làm theo kế hoạch là 200 sản phẩm và số sản phẩm mà xí nghiệp 2 phải làm theo kế hoạch là 160 sản phẩm.