Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết.

### Bài toán a: \( n - 2 \) chia hết cho \( 3n + 5 \)

Điều kiện: \( n - 2 \) chia hết cho \( 3n + 5 \)

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[ n - 2 = k(3n + 5) \]

Chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \( n \).

1. Phân tích phương trình:
\[ n - 2 = k(3n + 5) \]

2. Mở rộng phương trình:
\[ n - 2 = 3kn + 5k \]

3. Chuyển các hạng tử chứa \( n \) về một phía:
\[ n - 3kn = 5k + 2 \]

4. Đưa \( n \) ra ngoài:
\[ n(1 - 3k) = 5k + 2 \]

5. Giải phương trình này cho \( n \):
\[ n = \frac{5k + 2}{1 - 3k} \]

Để \( n \) là một số nguyên, \( \frac{5k + 2}{1 - 3k} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 1 - 3k \) phải là một ước của \( 5k + 2 \).

Chúng ta sẽ thử một số giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( n \):

- Nếu \( k = 0 \):
\[ n = \frac{5(0) + 2}{1 - 3(0)} = \frac{2}{1} = 2 \]
\( n = 2 \) là một nghiệm.

- Nếu \( k = 1 \):
\[ n = \frac{5(1) + 2}{1 - 3(1)} = \frac{7}{-2} \]
\( n \) không phải là số nguyên.

- Nếu \( k = -1 \):
\[ n = \frac{5(-1) + 2}{1 - 3(-1)} = \frac{-5 + 2}{1 + 3} = \frac{-3}{4} \]
\( n \) không phải là số nguyên.

- Nếu \( k = 2 \):
\[ n = \frac{5(2) + 2}{1 - 3(2)} = \frac{10 + 2}{1 - 6} = \frac{12}{-5} \]
\( n \) không phải là số nguyên.

- Nếu \( k = -2 \):
\[ n = \frac{5(-2) + 2}{1 - 3(-2)} = \frac{-10 + 2}{1 + 6} = \frac{-8}{7} \]
\( n \) không phải là số nguyên.

Vậy nghiệm duy nhất của bài toán a là:
\[ n = 2 \]

### Bài toán b: \( 3n \) chia hết cho \( 2n + 1 \)

Điều kiện: \( 3n \) chia hết cho \( 2n + 1 \)

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[ 3n = k(2n + 1) \]

Chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \( n \).

1. Phân tích phương trình:
\[ 3n = k(2n + 1) \]

2. Mở rộng phương trình:
\[ 3n = 2kn + k \]

3. Chuyển các hạng tử chứa \( n \) về một phía:
\[ 3n - 2kn = k \]

4. Đưa \( n \) ra ngoài:
\[ n(3 - 2k) = k \]

5. Giải phương trình này cho \( n \):
\[ n = \frac{k}{3 - 2k} \]

Để \( n \) là một số nguyên, \( \frac{k}{3 - 2k} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 3 - 2k \) phải là một ước của \( k \).

Chúng ta sẽ thử một số giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( n \):

- Nếu \( k = 0 \):
\[ n = \frac{0}{3 - 2(0)} = \frac{0}{3} = 0 \]
\( n = 0 \) là một nghiệm.

- Nếu \( k = 1 \):
\[ n = \frac{1}{3 - 2(1)} = \frac{1}{1} = 1 \]
\( n = 1 \) là một nghiệm.

- Nếu \( k = -1 \):
\[ n = \frac{-1}{3 - 2(-1)} = \frac{-1}{3 + 2} = \frac{-1}{5} \]
\( n \) không phải là số nguyên.

- Nếu \( k = 2 \):
\[ n = \frac{2}{3 - 2(2)} = \frac{2}{3 - 4} = \frac{2}{-1} = -2 \]
\( n = -2 \) là một nghiệm.

- Nếu \( k = -2 \):
\[ n = \frac{-2}{3 - 2(-2)} = \frac{-2}{3 + 4} = \frac{-2}{7} \]
\( n \) không phải là số nguyên.

Vậy các nghiệm của bài toán b là:
\[ n = 0, 1, -2 \]

### Kết luận

- Bài toán a: \( n = 2 \)
- Bài toán b: \( n = 0, 1, -2 \)