Để chứng minh rằng đoạn nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác gặp nhau tại một điểm, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

Giả sử tứ giác \(ABCD\) có các trung điểm của các cạnh là \(M\) (trung điểm của \(AB\)), \(N\) (trung điểm của \(BC\)), \(P\) (trung điểm của \(CD\)), và \(Q\) (trung điểm của \(DA\)). Gọi \(O_1\) và \(O_2\) lần lượt là trung điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).

Chúng ta cần chứng minh rằng các đoạn thẳng \(O_1O_2\), \(MN\), \(PQ\) gặp nhau tại một điểm.

### Bước 1: Chứng minh rằng \(MN\) và \(PQ\) song song và bằng nhau
- Xét tứ giác \(ABCD\), ta có:
- \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(BC\) nên \(MN\) là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác \(ABC\). Theo định lý đường trung bình trong tam giác, \(MN\) song song với \(AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\).
- Tương tự, \(P\) và \(Q\) là trung điểm của \(CD\) và \(DA\) nên \(PQ\) là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác \(CDA\). Theo định lý đường trung bình trong tam giác, \(PQ\) song song với \(AC\) và \(PQ = \frac{1}{2}AC\).

Do đó, \(MN\) và \(PQ\) song song và bằng nhau.

### Bước 2: Chứng minh rằng \(O_1O_2\) song song với \(MN\) và \(PQ\)
- \(O_1\) và \(O_2\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\) nên \(O_1O_2\) là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác \(ABD\). Theo định lý đường trung bình trong tam giác, \(O_1O_2\) song song với \(BD\) và \(O_1O_2 = \frac{1}{2}BD\).

### Bước 3: Chứng minh rằng \(O_1O_2\), \(MN\), và \(PQ\) gặp nhau tại một điểm
- Từ các bước trên, ta có \(MN\) và \(PQ\) song song với \(AC\), và \(O_1O_2\) song song với \(BD\). Do đó, \(MN\), \(PQ\), và \(O_1O_2\) đều song song với nhau.

- Vì \(MN\) và \(PQ\) là các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác, chúng sẽ chia tứ giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Do đó, các đoạn thẳng này sẽ gặp nhau tại trung điểm của đoạn thẳng nối hai trung điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\), tức là tại điểm \(G\).

### Kết luận
Như vậy, đoạn nối trung điểm hai đường chéo \(O_1O_2\) và các đoạn nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác \(MN\) và \(PQ\) gặp nhau tại một điểm \(G\).