Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của góc và các đường phân giác trong tứ giác. Dưới đây là các bước chi tiết:

### Phần a: Chứng minh \( IE \perp IF \) khi \(\angle BAD = 130^\circ\) và \(\angle BCD = 50^\circ\)

1. **Vẽ hình và xác định các điểm:**
- Vẽ tứ giác \(ABCD\).
- Xác định điểm \(E\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\).
- Xác định điểm \(F\) là giao điểm của \(BC\) và \(AD\).
- Vẽ các đường phân giác của góc \(E\) và góc \(F\), chúng cắt nhau tại \(I\).

2. **Tính các góc:**
- \(\angle BAD = 130^\circ\)
- \(\angle BCD = 50^\circ\)
- Do \(E\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\), ta có:
\[
\angle AEB = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ
\]
- Do \(F\) là giao điểm của \(BC\) và \(AD\), ta có:
\[
\angle CFD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ
\]

3. **Sử dụng tính chất của các đường phân giác:**
- Đường phân giác của góc \(E\) chia \(\angle AEB\) thành hai góc bằng nhau, mỗi góc là \(\frac{50^\circ}{2} = 25^\circ\).
- Đường phân giác của góc \(F\) chia \(\angle CFD\) thành hai góc bằng nhau, mỗi góc là \(\frac{130^\circ}{2} = 65^\circ\).

4. **Xét tam giác \(IEF\):**
- Trong tam giác \(IEF\), các góc tại \(I\) là:
\[
\angle EIF = \angle IEF + \angle IFI
\]
- Ta có:
\[
\angle IEF = 25^\circ \quad \text{và} \quad \angle IFI = 65^\circ
\]
- Tổng hai góc này là:
\[
\angle IEF + \angle IFI = 25^\circ + 65^\circ = 90^\circ
\]
- Do đó, \(\angle EIF = 90^\circ\), tức là \(IE \perp IF\).

### Phần b: Chứng minh \(\angle EIF\) bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối của tứ giác \(ABCD\)

1. **Xét các góc đối của tứ giác \(ABCD\):**
- Các cặp góc đối của tứ giác \(ABCD\) là \(\angle BAD\) và \(\angle BCD\), \(\angle ABC\) và \(\angle CDA\).

2. **Tính tổng của một cặp góc đối:**
- Tổng của cặp góc đối \(\angle BAD\) và \(\angle BCD\) là:
\[
\angle BAD + \angle BCD = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ
\]

3. **Tính nửa tổng của cặp góc đối:**
- Nửa tổng của cặp góc đối \(\angle BAD\) và \(\angle BCD\) là:
\[
\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ
\]

4. **So sánh với \(\angle EIF\):**
- Từ phần a, ta đã chứng minh \(\angle EIF = 90^\circ\).
- Do đó, \(\angle EIF\) bằng nửa tổng của cặp góc đối \(\angle BAD\) và \(\angle BCD\).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.