Để phương trình \(x^2 - mx + m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\), ta cần điều kiện của discriminant (biệt thức) của phương trình phải dương:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m - 1) > 0
\]

\[
m^2 - 4m + 4 > 0
\]

\[
(m - 2)^2 > 0
\]

Điều này luôn đúng với mọi \(m \neq 2\). Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m \neq 2\).

Tiếp theo, ta sử dụng điều kiện \(x_1^2 + mx_2 = 13\). Theo định lý Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = m \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = m - 1
\]

Thay \(x_2 = m - x_1\) vào điều kiện \(x_1^2 + mx_2 = 13\):

\[
x_1^2 + m(m - x_1) = 13
\]

\[
x_1^2 + m^2 - mx_1 = 13
\]

\[
x_1^2 - mx_1 + m^2 = 13
\]

Đây là phương trình bậc hai theo \(x_1\). Để \(x_1\) là nghiệm của phương trình này, discriminant của phương trình này phải là số chính phương:

\[
\Delta' = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4(1)(m^2 - 13) = m^2 - 4m^2 + 52 = -3m^2 + 52
\]

Để phương trình có nghiệm, ta cần:

\[
-3m^2 + 52 \geq 0
\]

\[
52 \geq 3m^2
\]

\[
\frac{52}{3} \geq m^2
\]

\[
m^2 \leq \frac{52}{3}
\]

\[
m^2 \leq \frac{52}{3} \approx 17.33
\]

\[
|m| \leq \sqrt{\frac{52}{3}} \approx \sqrt{17.33} \approx 4.16
\]

Do đó, \(m\) phải nằm trong khoảng:

\[
- \sqrt{\frac{52}{3}} \leq m \leq \sqrt{\frac{52}{3}}
\]

\[
- \sqrt{17.33} \leq m \leq \sqrt{17.33}
\]

\[
-4.16 \leq m \leq 4.16
\]

Kết hợp với điều kiện \(m \neq 2\), ta có:

\[
m \in [-4.16, 4.16] \setminus \{2\}
\]

Vậy giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_1^2 + mx_2 = 13\) là:

\[
m \in [-4.16, 4.16] \setminus \{2\}
\]