Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Để giải phương trình \(2\sqrt[4]{x} + 3\sqrt[3]{x} + 5 = 2\) bằng cách đặt ẩn phụ, ta có thể làm như sau:

1. Đặt \(t = \sqrt[4]{x}\), do đó \(t^4 = x\).
2. Đặt \(u = \sqrt[3]{x}\), do đó \(u^3 = x\).

Như vậy, phương trình ban đầu trở thành:
\[2t + 3u + 5 = 2\]

Chuyển vế và đơn giản hóa:
\[2t + 3u = -3\]
\[t + \frac{3}{2}u = -\frac{3}{2}\]

Để giải phương trình này, ta cần tìm mối quan hệ giữa \(t\) và \(u\). Tuy nhiên, từ \(t = \sqrt[4]{x}\) và \(u = \sqrt[3]{x}\), ta có:
\[t^4 = u^3\]

Thay \(u = \sqrt[3]{t^4}\) vào phương trình \(t + \frac{3}{2}u = -\frac{3}{2}\):
\[t + \frac{3}{2}\sqrt[3]{t^4} = -\frac{3}{2}\]

Đây là một phương trình phức tạp, và để giải nó, ta có thể thử các giá trị của \(t\) và kiểm tra xem có thỏa mãn phương trình hay không.

Giả sử \(t = -1\):
\[u = \sqrt[3]{(-1)^4} = \sqrt[3]{1} = 1\]

Thay vào phương trình:
\[-1 + \frac{3}{2}(1) = -\frac{3}{2}\]
\[-1 + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}\]
\[\frac{1}{2} \neq -\frac{3}{2}\]

Như vậy, \(t = -1\) không phải là nghiệm.

Giả sử \(t = -2\):
\[u = \sqrt[3]{(-2)^4} = \sqrt[3]{16}\]

Thay vào phương trình:
\[-2 + \frac{3}{2}\sqrt[3]{16} = -\frac{3}{2}\]

Để giải phương trình này, ta cần kiểm tra giá trị của \(\sqrt[3]{16}\). Tuy nhiên, giá trị này không đơn giản và không thỏa mãn phương trình.

Do đó, phương trình này không có nghiệm thực.