Để chứng minh rằng \( n(n+1)(n+2) \) chia hết cho 6 với \( n \) là số tự nhiên, ta cần chứng minh rằng tích này chia hết cho cả 2 và 3, vì 6 = 2 × 3.

1. **Chứng minh chia hết cho 2:**

Trong ba số liên tiếp \( n, n+1, n+2 \), chắc chắn có ít nhất một số là số chẵn. Vì số chẵn chia hết cho 2, nên tích \( n(n+1)(n+2) \) chắc chắn chia hết cho 2.

2. **Chứng minh chia hết cho 3:**

Trong ba số liên tiếp \( n, n+1, n+2 \), chắc chắn có ít nhất một số chia hết cho 3. Điều này là do trong mỗi ba số liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 3. Vì vậy, tích \( n(n+1)(n+2) \) chắc chắn chia hết cho 3.

Vì \( n(n+1)(n+2) \) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6.

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( n(n+1)(n+2) \) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên \( n \).