Để tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó kết hợp các kết quả lại.

1. **Phương trình 1:**
\[ 6x + y = 2 \]

2. **Phương trình 2:**
\[ -3x + y = 8 \]

3. **Phương trình 3:**
\[ 8x - 2y = 1 \]

4. **Phương trình 4:**
\[ (x - y) + 5(x + y) - 2 = 0 \]

5. **Phương trình 5:**
\[ \sqrt{2} x + y = 2 \]

6. **Phương trình 6:**
\[ 8(x - y) = 5(x - 3y) + 1 \]

### Bước 1: Giải hệ phương trình 1 và 2

Từ phương trình 1 và 2, ta có hệ:
\[ 6x + y = 2 \]
\[ -3x + y = 8 \]

Trừ phương trình 2 từ phương trình 1:
\[ (6x + y) - (-3x + y) = 2 - 8 \]
\[ 6x + y + 3x - y = -6 \]
\[ 9x = -6 \]
\[ x = -\frac{2}{3} \]

Thay \( x = -\frac{2}{3} \) vào phương trình 1:
\[ 6(-\frac{2}{3}) + y = 2 \]
\[ -4 + y = 2 \]
\[ y = 6 \]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình 1 và 2 là:
\[ x = -\frac{2}{3}, y = 6 \]

### Bước 2: Kiểm tra nghiệm với các phương trình còn lại

**Phương trình 3:**
\[ 8x - 2y = 1 \]
Thay \( x = -\frac{2}{3} \) và \( y = 6 \) vào:
\[ 8(-\frac{2}{3}) - 2(6) = 1 \]
\[ -\frac{16}{3} - 12 = 1 \]
\[ -\frac{16}{3} - \frac{36}{3} = 1 \]
\[ -\frac{52}{3} \neq 1 \]

Nghiệm \( x = -\frac{2}{3} \) và \( y = 6 \) không thỏa mãn phương trình 3.

### Bước 3: Giải phương trình 3 và 4

**Phương trình 4:**
\[ (x - y) + 5(x + y) - 2 = 0 \]
\[ x - y + 5x + 5y - 2 = 0 \]
\[ 6x + 4y - 2 = 0 \]
\[ 3x + 2y = 1 \]

**Phương trình 3:**
\[ 8x - 2y = 1 \]

Giải hệ:
\[ 3x + 2y = 1 \]
\[ 8x - 2y = 1 \]

Cộng hai phương trình:
\[ 3x + 2y + 8x - 2y = 1 + 1 \]
\[ 11x = 2 \]
\[ x = \frac{2}{11} \]

Thay \( x = \frac{2}{11} \) vào phương trình 3x + 2y = 1:
\[ 3(\frac{2}{11}) + 2y = 1 \]
\[ \frac{6}{11} + 2y = 1 \]
\[ 2y = 1 - \frac{6}{11} \]
\[ 2y = \frac{11}{11} - \frac{6}{11} \]
\[ 2y = \frac{5}{11} \]
\[ y = \frac{5}{22} \]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình 3 và 4 là:
\[ x = \frac{2}{11}, y = \frac{5}{22} \]

### Bước 4: Kiểm tra nghiệm với các phương trình còn lại

**Phương trình 5:**
\[ \sqrt{2} x + y = 2 \]
Thay \( x = \frac{2}{11} \) và \( y = \frac{5}{22} \) vào:
\[ \sqrt{2} \cdot \frac{2}{11} + \frac{5}{22} = 2 \]
\[ \frac{2\sqrt{2}}{11} + \frac{5}{22} \neq 2 \]

Nghiệm \( x = \frac{2}{11} \) và \( y = \frac{5}{22} \) không thỏa mãn phương trình 5.

### Bước 5: Giải phương trình 5 và 6

**Phương trình 6:**
\[ 8(x - y) = 5(x - 3y) + 1 \]
\[ 8x - 8y = 5x - 15y + 1 \]
\[ 3x + 7y = -1 \]

**Phương trình 5:**
\[ \sqrt{2} x + y = 2 \]

Giải hệ:
\[ 3x + 7y = -1 \]
\[ \sqrt{2} x + y = 2 \]

Nhân phương trình 2 với 7:
\[ 7\sqrt{2} x + 7y = 14 \]

Trừ phương trình 1 từ phương trình 2:
\[ 7\sqrt{2} x + 7y - (3x + 7y) = 14 - (-1) \]
\[ 7\sqrt{2} x - 3x = 15 \]
\[ (7\sqrt{2} - 3)x = 15 \]
\[ x = \frac{15}{7\sqrt{2} - 3} \]

Thay \( x \) vào phương trình \( \sqrt{2} x + y = 2 \) để tìm \( y \).

Do hệ phương trình phức tạp, việc tìm nghiệm tổng quát cần sử dụng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính hoặc phần mềm hỗ trợ tính toán. Tuy nhiên, từ các bước trên, ta thấy rằng việc tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình này không đơn giản và cần kiểm tra lại từng bước để đảm bảo tính chính xác.