Để chứng minh đẳng thức \((a - 1)(a − 2)(a + 3) - (a + 1)(a + 2)(a − 3) = 12\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Mở rộng các biểu thức**:
\[
(a - 1)(a - 2)(a + 3) = a(a - 2)(a + 3) - 1(a - 2)(a + 3)
\]
\[
= a(a^2 + a - 6) - (a - 2)(a + 3)
\]
\[
= a^3 + a^2 - 6a - (a^2 - 2a + 3a - 6)
\]
\[
= a^3 + a^2 - 6a - a^2 + 2a - 3a + 6
\]
\[
= a^3 - 7a + 6
\]

Tương tự:
\[
(a + 1)(a + 2)(a - 3) = a(a + 2)(a - 3) + 1(a + 2)(a - 3)
\]
\[
= a(a^2 - a - 6) + (a + 2)(a - 3)
\]
\[
= a^3 - a^2 - 6a + a^2 - 3a + 2a - 6
\]
\[
= a^3 - 7a - 6
\]

2. **Trừ hai biểu thức**:
\[
(a - 1)(a - 2)(a + 3) - (a + 1)(a + 2)(a - 3)
\]
\[
= (a^3 - 7a + 6) - (a^3 - 7a - 6)
\]
\[
= a^3 - 7a + 6 - a^3 + 7a + 6
\]
\[
= 12
\]

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức \((a - 1)(a − 2)(a + 3) - (a + 1)(a + 2)(a − 3) = 12\).

Bây giờ, ta áp dụng kết quả trên để chứng minh rằng:
\[
149 \cdot 148 \cdot 153 - 151 \cdot 152 \cdot 147 = 99 \cdot 98 \cdot 103 - 101 \cdot 102 \cdot 97
\]

Đặt \(a = 150\), ta có:
\[
(150 - 1)(150 - 2)(150 + 3) - (150 + 1)(150 + 2)(150 - 3) = 12
\]
\[
149 \cdot 148 \cdot 153 - 151 \cdot 152 \cdot 147 = 12
\]

Đặt \(a = 100\), ta có:
\[
(100 - 1)(100 - 2)(100 + 3) - (100 + 1)(100 + 2)(100 - 3) = 12
\]
\[
99 \cdot 98 \cdot 103 - 101 \cdot 102 \cdot 97 = 12
\]

Vậy, ta có:
\[
149 \cdot 148 \cdot 153 - 151 \cdot 152 \cdot 147 = 99 \cdot 98 \cdot 103 - 101 \cdot 102 \cdot 97 = 12
\]

Điều này chứng minh rằng:
\[
149 \cdot 148 \cdot 153 - 151 \cdot 152 \cdot 147 = 99 \cdot 98 \cdot 103 - 101 \cdot 102 \cdot 97
\]