Chúng ta sẽ giải từng hệ phương trình một cách chi tiết.

### Hệ phương trình 1:
\[
\begin{cases}
(x+3)(y-1) = xy + 2 \\
(x-1)(y+3) = xy - 2
\end{cases}
\]

**Phương trình 1:**
\[
(x+3)(y-1) = xy + 2
\]
Khai triển:
\[
xy - x + 3y - 3 = xy + 2
\]
Rút gọn:
\[
- x + 3y - 3 = 2
\]
Chuyển vế:
\[
- x + 3y = 5 \quad \text{(1)}
\]

**Phương trình 2:**
\[
(x-1)(y+3) = xy - 2
\]
Khai triển:
\[
xy + 3x - y - 3 = xy - 2
\]
Rút gọn:
\[
3x - y - 3 = -2
\]
Chuyển vế:
\[
3x - y = 1 \quad \text{(2)}
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):
\[
\begin{cases}
- x + 3y = 5 \\
3x - y = 1
\end{cases}
\]

Nhân phương trình (2) với 3:
\[
9x - 3y = 3 \quad \text{(3)}
\]

Cộng phương trình (1) và (3):
\[
- x + 3y + 9x - 3y = 5 + 3
\]
\[
8x = 8
\]
\[
x = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào phương trình (2):
\[
3(1) - y = 1
\]
\[
3 - y = 1
\]
\[
y = 2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình 1 là \( x = 1, y = 2 \).

### Hệ phương trình 2:
\[
\begin{cases}
5(x+4) + 3(y-2) = 7 \\
(x+4) - 3(y-2) = -1
\end{cases}
\]

**Phương trình 1:**
\[
5(x+4) + 3(y-2) = 7
\]
Khai triển:
\[
5x + 20 + 3y - 6 = 7
\]
Rút gọn:
\[
5x + 3y + 14 = 7
\]
Chuyển vế:
\[
5x + 3y = -7 \quad \text{(4)}
\]

**Phương trình 2:**
\[
(x+4) - 3(y-2) = -1
\]
Khai triển:
\[
x + 4 - 3y + 6 = -1
\]
Rút gọn:
\[
x - 3y + 10 = -1
\]
Chuyển vế:
\[
x - 3y = -11 \quad \text{(5)}
\]

Giải hệ phương trình (4) và (5):
\[
\begin{cases}
5x + 3y = -7 \\
x - 3y = -11
\end{cases}
\]

Cộng phương trình (4) và (5):
\[
5x + 3y + x - 3y = -7 - 11
\]
\[
6x = -18
\]
\[
x = -3
\]

Thay \( x = -3 \) vào phương trình (5):
\[
-3 - 3y = -11
\]
\[
-3y = -8
\]
\[
y = \frac{8}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình 2 là \( x = -3, y = \frac{8}{3} \).

### Hệ phương trình 3:
\[
\begin{cases}
\frac{-1}{x} - \frac{2}{y-2} = -2 \\
\frac{3}{x} + \frac{1}{y-2} - 1 = 0
\end{cases}
\]

**Phương trình 1:**
\[
\frac{-1}{x} - \frac{2}{y-2} = -2
\]

**Phương trình 2:**
\[
\frac{3}{x} + \frac{1}{y-2} - 1 = 0
\]

Đặt \( u = \frac{1}{x} \) và \( v = \frac{1}{y-2} \), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
-u - 2v = -2 \\
3u + v - 1 = 0
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
-u - 2v = -2 \\
3u + v = 1
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ nhất với 3:
\[
-3u - 6v = -6 \quad \text{(6)}
\]

Cộng phương trình (6) và phương trình thứ hai:
\[
-3u - 6v + 3u + v = -6 + 1
\]
\[
-5v = -5
\]
\[
v = 1
\]

Thay \( v = 1 \) vào phương trình thứ hai:
\[
3u + 1 = 1
\]
\[
3u = 0
\]
\[
u = 0
\]

Vậy \( \frac{1}{x} = 0 \) và \( \frac{1}{y-2} = 1 \), suy ra \( x = \infty \) (không có nghiệm) và \( y - 2 = 1 \), tức là \( y = 3 \).

Vậy nghiệm của hệ phương trình 3 là \( x \) không xác định và \( y = 3 \).

### Hệ phương trình 4:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x-2} - \frac{3}{y-1} = 1 \\
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{y-1} = 2
\end{cases}
\]

**Phương trình 1:**
\[
\frac{2}{x-2} - \frac{3}{y-1} = 1
\]

**Phương trình 2:**
\[
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{y-1} = 2
\]

Đặt \( u = \frac{1}{x-2} \) và \( v = \frac{1}{y-1} \), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2u - 3v = 1 \\
u + v = 2
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
2u - 3v = 1 \\
u + v = 2
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ hai với 3:
\[
3u + 3v = 6 \quad \text{(7)}
\]

Cộng phương trình (7) và phương trình thứ nhất:
\[
2u - 3v + 3u + 3v = 1 + 6
\]
\[
5u = 7
\]
\[
u = \frac{7}{5}
\]

Thay \( u = \frac{7}{5} \) vào phương trình thứ hai:
\[
\frac{7}{5} + v = 2
\]
\[
v = 2 - \frac{7}{5}
\]
\[
v = \frac{10}{5} - \frac{7}{5}
\]
\[
v = \frac{3}{5}
\]

Vậy \( \frac{1}{x-2} = \frac{7}{5} \) và \( \frac{1}{y-1} = \frac{3}{5} \), suy ra \( x - 2 = \frac{5}{7} \) và \( y - 1 = \frac{5}{3} \), tức là \( x = \frac{5}{7} + 2 = \frac{19}{7} \) và \( y = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3} \).

Vậy nghiệm của hệ phương trình 4 là \( x = \frac{19}{7}, y = \frac{8}{3} \).