Để tìm số nguyên \( x \) trong các phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### Phương trình a:
\[
(-x + 82) + 53x = 499 + (10x - 84) - 2(x + 6) + 6(x - 10)
\]

Bước 1: Rút gọn các biểu thức ở hai vế của phương trình.

Vế trái:
\[
(-x + 82) + 53x = 52x + 82
\]

Vế phải:
\[
499 + 10x - 84 - 2x - 12 + 6x - 60 = 499 - 84 - 12 - 60 + 10x - 2x + 6x = 343 + 14x
\]

Bước 2: Đặt hai vế bằng nhau và giải phương trình:
\[
52x + 82 = 343 + 14x
\]

Chuyển các hạng tử chứa \( x \) sang một bên và các hạng tử không chứa \( x \) sang bên kia:
\[
52x - 14x = 343 - 82
\]

\[
38x = 261
\]

Chia cả hai vế cho 38:
\[
x = \frac{261}{38} = 6.868
\]

Vì \( x \) phải là số nguyên, phương trình này không có nghiệm nguyên.

### Phương trình b:
\[
-4(2x + 9) - (-8x + 3) - (x + 12) = 0
\]

Bước 1: Rút gọn các biểu thức ở hai vế của phương trình.

Vế trái:
\[
-4(2x + 9) - (-8x + 3) - (x + 12) = -8x - 36 + 8x - 3 - x - 12 = -x - 51
\]

Vế phải:
\[
0
\]

Bước 2: Đặt hai vế bằng nhau và giải phương trình:
\[
-x - 51 = 0
\]

Chuyển các hạng tử chứa \( x \) sang một bên và các hạng tử không chứa \( x \) sang bên kia:
\[
-x = 51
\]

Nhân cả hai vế với -1:
\[
x = -51
\]

Vậy nghiệm nguyên của phương trình b là \( x = -51 \).