Để tính các giá trị của các biểu thức mà không cần giải phương trình \(x^2 - 3x - 7 = 0\), ta có thể sử dụng định lý Viète. Theo định lý Viète, nếu \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), thì:

1. \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
2. \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\)

Với phương trình \(x^2 - 3x - 7 = 0\), ta có:
- \(a = 1\)
- \(b = -3\)
- \(c = -7\)

Do đó:
- \(x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3\)
- \(x_1 x_2 = \frac{-7}{1} = -7\)

Bây giờ ta sẽ tính các biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\)

\[A = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7}\]

b) \(B = x_1^2 + x_2^2\)

\[B = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 3^2 - 2(-7) = 9 + 14 = 23\]

c) \(C = |x_1 - x_2|\)

\[C = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{3^2 - 4(-7)} = \sqrt{9 + 28} = \sqrt{37}\]

d) \(D = x_1^3 + x_2^3\)

\[D = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = 3((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2) = 3(9 + 21) = 3 \cdot 30 = 90\]

e) \(E = x_1^4 + x_2^4\)

\[E = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1 x_2)^2 = 23^2 - 2(-7)^2 = 529 - 98 = 431\]

f) \(F = (3x_1 + x_2)(3x_2 + x_1)\)

\[F = 9x_1 x_2 + 3x_1^2 + 3x_2^2 + x_1 x_2 = 9(-7) + 3(x_1^2 + x_2^2) + (-7) = -63 + 3 \cdot 23 - 7 = -63 + 69 - 7 = -1\]

Vậy các giá trị của các biểu thức là:
a) \(A = -\frac{3}{7}\)
b) \(B = 23\)
c) \(C = \sqrt{37}\)
d) \(D = 90\)
e) \(E = 431\)
f) \(F = -1\)