Để giải các hệ phương trình sau, ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

a)
\[
\begin{cases}
2x - y = 1 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Giải bằng phương pháp cộng đại số:
Cộng hai phương trình:
\[ (2x - y) + (x + y) = 1 + 2 \]
\[ 3x = 3 \]
\[ x = 1 \]

Thay \( x = 1 \) vào phương trình thứ hai:
\[ 1 + y = 2 \]
\[ y = 1 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 1 \) và \( y = 1 \).

b)
\[
\begin{cases}
0,1x - 0,4y = 3 \\
0,2x - 0,25y = -1
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ nhất với 2:
\[ 0,2x - 0,8y = 6 \]

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình đã nhân:
\[ (0,2x - 0,8y) - (0,2x - 0,25y) = 6 - (-1) \]
\[ -0,55y = 7 \]
\[ y = -\frac{7}{0,55} = -\frac{700}{55} = -\frac{140}{11} \]

Thay \( y = -\frac{140}{11} \) vào phương trình thứ nhất:
\[ 0,1x - 0,4 \left( -\frac{140}{11} \right) = 3 \]
\[ 0,1x + \frac{56}{11} = 3 \]
\[ 0,1x = 3 - \frac{56}{11} \]
\[ 0,1x = \frac{33}{11} - \frac{56}{11} \]
\[ 0,1x = -\frac{23}{11} \]
\[ x = -\frac{230}{11} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = -\frac{230}{11} \) và \( y = -\frac{140}{11} \).

c)
\[
\begin{cases}
x + \frac{y}{2} = 4 \\
x - y = \frac{1}{3}
\end{cases}
\]

Giải bằng phương pháp thế:
Từ phương trình thứ hai:
\[ x = y + \frac{1}{3} \]

Thay vào phương trình thứ nhất:
\[ y + \frac{1}{3} + \frac{y}{2} = 4 \]
\[ \frac{3y + 1}{3} + \frac{y}{2} = 4 \]
\[ \frac{6y + 2 + 3y}{6} = 4 \]
\[ 9y + 2 = 24 \]
\[ 9y = 22 \]
\[ y = \frac{22}{9} \]

Thay \( y = \frac{22}{9} \) vào phương trình \( x = y + \frac{1}{3} \):
\[ x = \frac{22}{9} + \frac{1}{3} \]
\[ x = \frac{22}{9} + \frac{3}{9} \]
\[ x = \frac{25}{9} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = \frac{25}{9} \) và \( y = \frac{22}{9} \).

d)
\[
\begin{cases}
\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1 \\
\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = -1
\end{cases}
\]

Giải bằng phương pháp cộng đại số:
Nhân phương trình thứ nhất với 4 và phương trình thứ hai với 6:
\[ 2x - y = 4 \]
\[ 2x + 3y = -6 \]

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
\[ (2x - y) - (2x + 3y) = 4 - (-6) \]
\[ -4y = 10 \]
\[ y = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \]

Thay \( y = -\frac{5}{2} \) vào phương trình thứ nhất:
\[ 2x - \left( -\frac{5}{2} \right) = 4 \]
\[ 2x + \frac{5}{2} = 4 \]
\[ 2x = 4 - \frac{5}{2} \]
\[ 2x = \frac{8}{2} - \frac{5}{2} \]
\[ 2x = \frac{3}{2} \]
\[ x = \frac{3}{4} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = \frac{3}{4} \) và \( y = -\frac{5}{2} \).

e)
\[
\begin{cases}
(1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})y = 2 \\
(1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3
\end{cases}
\]

Giải bằng phương pháp cộng đại số:
Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
\[ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y - [(1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})y] = 3 - 2 \]
\[ (1 + \sqrt{2})y - (1 - \sqrt{2})y = 1 \]
\[ 2\sqrt{2}y = 1 \]
\[ y = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Thay \( y = \frac{\sqrt{2}}{4} \) vào phương trình thứ nhất:
\[ (1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})\left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right) = 2 \]
\[ (1 + \sqrt{2})x + \frac{\sqrt{2} - 2}{4} = 2 \]
\[ (1 + \sqrt{2})x = 2 - \frac{\sqrt{2} - 2}{4} \]
\[ (1 + \sqrt{2})x = \frac{8 - \sqrt{2} + 2}{4} \]
\[ (1 + \sqrt{2})x = \frac{10 - \sqrt{2}}{4} \]
\[ x = \frac{10 - \sqrt{2}}{4(1 + \sqrt{2})} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = \frac{10 - \sqrt{2}}{4(1 + \sqrt{2})} \) và \( y = \frac{\sqrt{2}}{4} \).