Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm \( x \) để \( A = -2 \), ta thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn \( A \)

Biểu thức ban đầu:
\[ A = \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2}\right) \]

Trước tiên, ta rút gọn phần trong ngoặc thứ hai:
\[ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} \]

Ta quy đồng mẫu số:
\[ \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \]

Khai triển tử số:
\[ (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) = x - 2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 2 = x - 3\sqrt{x} + 2 \]
\[ (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) = x + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2 = x + 3\sqrt{x} + 2 \]

Do đó:
\[ \frac{(x - 3\sqrt{x} + 2) - (x + 3\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{x - 3\sqrt{x} + 2 - x - 3\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{-6\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \]

Mẫu số:
\[ (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2) = x - 4 \]

Vậy:
\[ \frac{-6\sqrt{x}}{x - 4} \]

Thay vào biểu thức \( A \):
\[ A = \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot \frac{-6\sqrt{x}}{x - 4} \]

### b. Tìm \( x \) để \( A = -2 \)

Ta có:
\[ \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot \frac{-6\sqrt{x}}{x - 4} = -2 \]

Giải phương trình:
\[ \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot \frac{-6\sqrt{x}}{x - 4} = -2 \]

Nhân cả hai vế với \( x - 4 \):
\[ \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot (-6\sqrt{x}) = -2(x - 4) \]

Chia cả hai vế cho -2:
\[ \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot 3\sqrt{x} = x - 4 \]

Nhân cả hai vế với \( x \):
\[ 3x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} = x^2 - 4x \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[ x^2 - 4x - 3x\sqrt{x} + 12\sqrt{x} = 0 \]

Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có \( x = t^2 \):
\[ t^4 - 4t^2 - 3t^3 + 12t = 0 \]

Phân tích đa thức:
\[ t(t^3 - 3t^2 - 4t + 12) = 0 \]

Giải phương trình:
\[ t = 0 \] (loại vì \( x > 0 \))

\[ t^3 - 3t^2 - 4t + 12 = 0 \]

Dùng phương pháp thử nghiệm hoặc công thức nghiệm của phương trình bậc ba để tìm nghiệm \( t \).

Sau khi tìm được \( t \), ta tính \( x = t^2 \).

Do đó, nghiệm của phương trình sẽ là giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện \( A = -2 \).