Để chứng minh \( MN \parallel Oz \), ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của trung điểm và các đoạn thẳng song song.

1. **Đặt tọa độ các điểm:**
- Giả sử \( O \) là gốc tọa độ.
- \( A \) và \( B \) nằm trên tia \( Ox \), nên tọa độ của \( A \) và \( B \) lần lượt là \( A(a, 0) \) và \( B(b, 0) \) với \( 0 < a < b \).
- \( C \) và \( D \) nằm trên tia \( Oy \), nên tọa độ của \( C \) và \( D \) lần lượt là \( C(0, c) \) và \( D(0, d) \) với \( 0 < c < d \).
- Vì \( AB = CD \), ta có \( b - a = d - c \).

2. **Tọa độ trung điểm:**
- Trung điểm \( M \) của đoạn \( AC \) có tọa độ:
\[
M \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+c}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]
- Trung điểm \( N \) của đoạn \( BD \) có tọa độ:
\[
N \left( \frac{b+0}{2}, \frac{0+d}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{d}{2} \right)
\]

3. **Xét vector \( \overrightarrow{MN} \):**
- Vector \( \overrightarrow{MN} \) có tọa độ:
\[
\overrightarrow{MN} = \left( \frac{b}{2} - \frac{a}{2}, \frac{d}{2} - \frac{c}{2} \right) = \left( \frac{b-a}{2}, \frac{d-c}{2} \right)
\]
- Do \( b - a = d - c \), ta có:
\[
\overrightarrow{MN} = \left( \frac{d-c}{2}, \frac{d-c}{2} \right)
\]

4. **Xét vector \( \overrightarrow{Oz} \):**
- Vì \( Oz \) là tia phân giác của góc \( xOy \), nên vector \( \overrightarrow{Oz} \) có dạng \( (k, k) \) với \( k \) là một hằng số dương.

5. **So sánh hai vector:**
- Vector \( \overrightarrow{MN} = \left( \frac{d-c}{2}, \frac{d-c}{2} \right) \) có dạng \( (m, m) \) với \( m = \frac{d-c}{2} \).
- Vector \( \overrightarrow{Oz} = (k, k) \).

Do đó, hai vector \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{Oz} \) có cùng hướng, tức là:
\[
\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{Oz}
\]

Vậy, \( MN \parallel Oz \).