Giả sử có 2 số lẻ bất kỳ là a và b, ta có:
a = 2m + 1 và b = 2n + 1, với m, n là số nguyên.

Tổng bình phương của 2 số lẻ này là:
a^2 + b^2 = (2m + 1)^2 + (2n + 1)^2
= 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 + 4n + 1
= 4(m^2 + n^2 + m + n) + 2

Để chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ không phải là số chính phương, ta cần chứng minh rằng tổng trên không thể viết dưới dạng k^2 với k là số nguyên.

Giả sử tổng trên có thể viết dưới dạng k^2, tức là:
4(m^2 + n^2 + m + n) + 2 = k^2
⇒ 2(2m^2 + 2n^2 + 2m + 2n) + 1 = k^2
⇒ 2(p^2 + q^2 + p + q) + 1 = k^2, với p = 2m, q = 2n là số nguyên

Nhưng ta biết rằng mỗi số chính phương đều có dạng 4k hoặc 4k + 1, với k là số nguyên. Vì vậy, ta có:
k^2 ≡ 0 hoặc 1 (mod 4)

Nhưng từ phương trình trên, ta thấy rằng k^2 ≡ 1 (mod 4), điều này là không thể với giả thiết k^2 ≡ 0 hoặc 1 (mod 4).

Vì vậy, ta kết luận rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.