Ta có:
- Vì IM vuông góc với BC nên tam giác IMB vuông tại M.
- Vì IN vuông góc với AC nên tam giác INC vuông tại N.
- Vì IP vuông góc với AB nên tam giác IPB vuông tại P.

a, Ta có IM là đường phân giác trong của tam giác IMB nên theo định lí phân giác trong ta có: BM = BP.

b, Ta có IN là đường phân giác trong của tam giác INC nên theo định lí phân giác trong ta có: IM = IN.

c, Ta có BP = BM (do a), CN = IN (do b).
Vậy BP + CN = BM + IN = BC (do tam giác ABC vuông tại B).
Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.