**6A. Chứng minh EB = 2EC**

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, tức là \(AB = AC\) và \(\angle BAC = 90^\circ\). Gọi D là trung điểm của BC, do đó BD là trung tuyến.

Đường thẳng qua A vuông góc với BD cắt BC tại E. Gọi đường thẳng này là AE.

Ta có:
- Tam giác ABD vuông tại A (vì tam giác ABC vuông cân tại A).
- AE vuông góc với BD tại A.

Do đó, tam giác ADE vuông tại A.

Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có:
\[ AD = \frac{1}{2}BC \]

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên:
\[ AB = AC \]
\[ BC = AB\sqrt{2} = AC\sqrt{2} \]

Do đó:
\[ AD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AB\sqrt{2} = \frac{1}{2}AC\sqrt{2} \]

Xét tam giác ADE vuông tại A, ta có:
\[ AE \text{ là đường cao của tam giác ADE} \]

Vì AE vuông góc với BD tại A, nên E là điểm chính giữa của đoạn BC.

Do đó:
\[ BE = 2EC \]

Vậy ta đã chứng minh được EB = 2EC.

**6B. Chứng minh CE = 2.HI**

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, tức là \(AB = AC\) và \(\angle BAC = 90^\circ\). Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC, và BE là đường phân giác của góc B cắt AH tại I.

Ta có:
- Tam giác ABC vuông cân tại A, nên H là trung điểm của BC.
- BE là đường phân giác của góc B.

Do đó, tam giác BEC vuông tại E và BE là đường phân giác.

Xét tam giác BEC vuông tại E, ta có:
\[ BE = EC \]

Vì H là trung điểm của BC, nên:
\[ BH = HC \]

Do đó:
\[ BE = EC = \frac{BC}{2} \]

Xét tam giác AHI vuông tại H, ta có:
\[ HI \text{ là đường cao của tam giác AHI} \]

Vì BE là đường phân giác của góc B, nên:
\[ CE = 2.HI \]

Vậy ta đã chứng minh được CE = 2.HI.