Để giải quyết các phần e, f, g của bài toán, trước tiên chúng ta cần rút gọn biểu thức \( A \).

**a) Rút gọn A:**

\[ A = \left( \frac{12}{x^2 - 4} - \frac{2}{2 - x} + \frac{3}{x + 2} \right) : \frac{5}{x + 2} \]

Ta có:
\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]

Do đó:
\[ \frac{12}{x^2 - 4} = \frac{12}{(x - 2)(x + 2)} \]

Và:
\[ \frac{2}{2 - x} = -\frac{2}{x - 2} \]

Biểu thức \( A \) trở thành:
\[ A = \left( \frac{12}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} \right) : \frac{5}{x + 2} \]

Ta quy đồng mẫu số trong ngoặc:
\[ A = \left( \frac{12 + 2(x + 2) + 3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \right) : \frac{5}{x + 2} \]

\[ = \left( \frac{12 + 2x + 4 + 3x - 6}{(x - 2)(x + 2)} \right) : \frac{5}{x + 2} \]

\[ = \left( \frac{5x + 10}{(x - 2)(x + 2)} \right) : \frac{5}{x + 2} \]

\[ = \frac{5(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{5} \]

\[ = \frac{5(x + 2)^2}{5(x - 2)(x + 2)} \]

\[ = \frac{(x + 2)}{(x - 2)} \]

Vậy:
\[ A = \frac{x + 2}{x - 2} \]

**e) Tìm x để \(|A| = A\):**

\[ |A| = A \Rightarrow \left| \frac{x + 2}{x - 2} \right| = \frac{x + 2}{x - 2} \]

Điều này chỉ xảy ra khi \(\frac{x + 2}{x - 2} \geq 0\).

Xét các trường hợp:
1. \( x + 2 \geq 0 \) và \( x - 2 > 0 \) \(\Rightarrow x > 2 \)
2. \( x + 2 \leq 0 \) và \( x - 2 < 0 \) \(\Rightarrow x < -2 \)

Vậy \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \).

**f) Tìm GTNN của \((x + 1)A\) với \(x > 2\):**

\[ (x + 1)A = (x + 1) \cdot \frac{x + 2}{x - 2} \]

\[ = \frac{(x + 1)(x + 2)}{x - 2} \]

\[ = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 2} \]

Ta xét hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 2} \) với \( x > 2 \).

Để tìm GTNN, ta tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm:

\[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 2) - (x^2 + 3x + 2)}{(x - 2)^2} \]

\[ = \frac{2x^2 - 4x + 3x - 6 - x^2 - 3x - 2}{(x - 2)^2} \]

\[ = \frac{x^2 - 6}{(x - 2)^2} \]

Cho \( f'(x) = 0 \):

\[ x^2 - 6 = 0 \]

\[ x = \sqrt{6} \]

Với \( x > 2 \), ta có \( x = \sqrt{6} \).

Kiểm tra giá trị tại \( x = \sqrt{6} \):

\[ f(\sqrt{6}) = \frac{(\sqrt{6})^2 + 3\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2} \]

\[ = \frac{6 + 3\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2} \]

\[ = \frac{8 + 3\sqrt{6}}{\sqrt{6} - 2} \]

Đây là giá trị nhỏ nhất của \( (x + 1)A \) với \( x > 2 \).

**g) Tìm m để phương trình \( A = m \) có nghiệm:**

\[ A = m \Rightarrow \frac{x + 2}{x - 2} = m \]

Giải phương trình này:

\[ x + 2 = m(x - 2) \]

\[ x + 2 = mx - 2m \]

\[ x - mx = -2m - 2 \]

\[ x(1 - m) = -2(m + 1) \]

\[ x = \frac{-2(m + 1)}{1 - m} \]

Để phương trình có nghiệm, \( 1 - m \neq 0 \Rightarrow m \neq 1 \).

Vậy \( m \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \).