Dưới đây là lời giải cho các bài toán đã cho:

**Bài 1:**
a) Đếm số tập con 2 phần tử của tập có n phần tử:
- Số tập con gồm 2 phần tử của tập có n phần tử là số cách chọn 2 phần tử từ n phần tử, tức là \( \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \).

b) Đếm số tập con 3 phần tử của tập có n phần tử:
- Số tập con gồm 3 phần tử của tập có n phần tử là số cách chọn 3 phần tử từ n phần tử, tức là \( \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \).

c) Đếm số tập con 4 phần tử của tập có n phần tử:
- Số tập con gồm 4 phần tử của tập có n phần tử là số cách chọn 4 phần tử từ n phần tử, tức là \( \binom{n}{4} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \).

**Bài 2:**
Dùng quy nạp chứng minh \( 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{(1+2+...+n)^2}{2} \).

- Cơ sở quy nạp: Với \( n = 1 \), ta có \( 1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1 \), đúng.
- Giả thiết quy nạp: Giả sử công thức đúng với \( n = k \), tức là \( 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2} \).
- Bước quy nạp: Xét \( n = k+1 \), ta có:
\[
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
\]
Vậy công thức đúng với \( n = k+1 \).

Do đó, bằng nguyên lý quy nạp, công thức đúng với mọi \( n \).

**Bài 3:**
Số tập con của tập có n phần tử là \( 2^n \).
- Mỗi phần tử có thể có hoặc không có trong một tập con, do đó có \( 2 \) lựa chọn cho mỗi phần tử. Với n phần tử, số tập con là \( 2^n \).

**Bài 4:**
Chứng minh \( 2^n > n^2 \) với \( n \ge 5 \) (n ∈ Z).

- Với \( n = 5 \), ta có \( 2^5 = 32 \) và \( 5^2 = 25 \), rõ ràng \( 32 > 25 \).
- Giả sử \( 2^k > k^2 \) đúng với \( k \ge 5 \).
- Xét \( n = k+1 \), ta có:
\[
2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2
\]
Ta cần chứng minh \( 2 \cdot k^2 > (k+1)^2 \):
\[
2k^2 > k^2 + 2k + 1 \implies k^2 > 2k + 1 \implies k(k-2) > 1
\]
Với \( k \ge 5 \), \( k(k-2) \ge 5 \cdot 3 = 15 > 1 \), do đó bất đẳng thức đúng.

Vậy bằng quy nạp, \( 2^n > n^2 \) với \( n \ge 5 \).

**Bài 5:**
Cho 2 điểm A, B trên mặt phẳng. Có a đường đi qua A và b đường đi qua B sao cho đường nào cũng cắt nhau và không có đường nào đi qua cả A, B. Tìm số miền tối đa tạo được, biết \( a + b = 20 \).

- Số miền tối đa được tạo bởi \( a \) đường thẳng qua A và \( b \) đường thẳng qua B là \( ab + a + b + 1 \).
- Với \( a + b = 20 \), để số miền tối đa, ta chọn \( a = 10 \) và \( b = 10 \):
\[
Số miền tối đa = 10 \cdot 10 + 10 + 10 + 1 = 100 + 20 + 1 = 121
\]

Vậy số miền tối đa tạo được là 121.