Để chứng minh \( A < \frac{3}{4} \), ta xét biểu thức \( A \) như sau:

\[ A = \frac{9}{5^2} + \frac{9}{11^2} + \frac{9}{17^2} + \ldots + \frac{9}{305^2} \]

Trước hết, ta nhận thấy rằng các số hạng trong tổng \( A \) đều có dạng \(\frac{9}{n^2}\) với \( n \) là các số lẻ lớn hơn hoặc bằng 5.

Ta có thể viết lại \( A \) như sau:

\[ A = 9 \left( \frac{1}{5^2} + \frac{1}{11^2} + \frac{1}{17^2} + \ldots + \frac{1}{305^2} \right) \]

Bây giờ, ta cần ước lượng tổng \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(6k-1)^2} \) với \( n \) là số hạng cuối cùng sao cho \( 6k-1 \leq 305 \).

Ta biết rằng:

\[ \frac{1}{(6k-1)^2} < \frac{1}{(6k)^2} = \frac{1}{36k^2} \]

Do đó:

\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(6k-1)^2} < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{36k^2} \]

Tổng \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{36k^2} \) là một chuỗi hội tụ và có thể được ước lượng bởi tích phân:

\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \approx \int_{1}^{n} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{n} = 1 - \frac{1}{n} \]

Do đó:

\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{36k^2} \approx \frac{1}{36} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \]

Khi \( n \) lớn, \( \frac{1}{n} \) rất nhỏ, do đó:

\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{36k^2} \approx \frac{1}{36} \]

Vậy:

\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(6k-1)^2} < \frac{1}{36} \]

Do đó:

\[ A < 9 \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[ A < \frac{3}{4} \]

Điều này hoàn thành chứng minh.