Để chứng minh tứ giác ABED là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của nó song song và bằng nhau.

a) Chứng minh tứ giác ABED là hình bình hành:

- Ta có AB // CD (giả thiết).
- Gọi E là trung điểm của CD, do đó CE = ED và CD = 2AB (giả thiết).

Vì E là trung điểm của CD nên CE = ED = AB (do CD = 2AB).

- Xét hai tam giác ABE và CDE:
- AB // CD (giả thiết).
- AB = CE (vì CE = ED = AB).
- AE = DE (vì E là trung điểm của CD).

Do đó, hai tam giác ABE và CDE bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c-c-c).

- Từ đó, ta có góc AEB = góc CED và góc BAE = góc DCE.

Vì AB // CD và góc AEB = góc CED, nên AB // DE và AB = DE.

Vì AB = DE và AE = BE, nên tứ giác ABED là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng: AM * NC = BN * MD:

- Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho M khác A và M khác D.
- Kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt các đoạn thẳng AC và BC theo thứ tự tại I và N.

Vì đường thẳng qua M song song với AB và CD, nên ta có:
- ΔAMI ∼ ΔDMI (vì có hai góc tương ứng bằng nhau).
- ΔBNI ∼ ΔCNI (vì có hai góc tương ứng bằng nhau).

Từ đó, ta có:
- AM / MD = AI / ID (1)
- BN / NC = BI / IC (2)

Do AI = IC (vì I là trung điểm của AC) và BI = ID (vì I là trung điểm của BC), ta có:
- AI / ID = 1
- BI / IC = 1

Thay vào (1) và (2), ta có:
- AM / MD = 1
- BN / NC = 1

Do đó, AM * NC = BN * MD.