Để khai triển biểu thức \((2x + \frac{1}{2})^2 (2x + \frac{1}{2})^2\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Nhận dạng biểu thức**:
Biểu thức ban đầu là \((2x + \frac{1}{2})^2 (2x + \frac{1}{2})^2\).

2. **Đơn giản hóa biểu thức**:
Chúng ta nhận thấy rằng \((2x + \frac{1}{2})^2\) xuất hiện hai lần, do đó, biểu thức có thể được viết lại dưới dạng:
\[
\left((2x + \frac{1}{2})^2\right)^2
\]

3. **Áp dụng quy tắc lũy thừa**:
Theo quy tắc lũy thừa, \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Ở đây, \(a = (2x + \frac{1}{2})\), \(m = 2\), và \(n = 2\). Do đó:
\[
\left((2x + \frac{1}{2})^2\right)^2 = (2x + \frac{1}{2})^{2 \cdot 2} = (2x + \frac{1}{2})^4
\]

4. **Khai triển biểu thức**:
Bây giờ chúng ta cần khai triển \((2x + \frac{1}{2})^4\). Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]
Ở đây, \(a = 2x\), \(b = \frac{1}{2}\), và \(n = 4\).

5. **Tính các hệ số và các số hạng**:
\[
(2x + \frac{1}{2})^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} \left(\frac{1}{2}\right)^k
\]
Tính từng số hạng:
- Khi \(k = 0\):
\[
\binom{4}{0} (2x)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \cdot (2x)^4 \cdot 1 = 16x^4
\]
- Khi \(k = 1\):
\[
\binom{4}{1} (2x)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot \frac{1}{2} = 16x^3
\]
- Khi \(k = 2\):
\[
\binom{4}{2} (2x)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot \frac{1}{4} = 6x^2
\]
- Khi \(k = 3\):
\[
\binom{4}{3} (2x)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 4 \cdot 2x \cdot \frac{1}{8} = x
\]
- Khi \(k = 4\):
\[
\binom{4}{4} (2x)^0 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}
\]

6. **Kết hợp các số hạng**:
\[
(2x + \frac{1}{2})^4 = 16x^4 + 16x^3 + 6x^2 + x + \frac{1}{16}
\]

Vậy, khai triển của \((2x + \frac{1}{2})^2 (2x + \frac{1}{2})^2\) là:
\[
16x^4 + 16x^3 + 6x^2 + x + \frac{1}{16}
\]