Để tìm hình chữ nhật có diện tích \(100 \, \text{m}^2\) và có chu vi nhỏ nhất, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Giả sử hình chữ nhật có chiều dài là \(x\) và chiều rộng là \(y\). Ta có:
\[ x \cdot y = 100 \]

Chu vi của hình chữ nhật là:
\[ P = 2(x + y) \]

Ta cần biểu diễn \(P\) theo một biến số duy nhất. Từ phương trình diện tích, ta có:
\[ y = \frac{100}{x} \]

Thay \(y\) vào công thức chu vi:
\[ P = 2 \left( x + \frac{100}{x} \right) \]

Để tìm giá trị \(x\) sao cho \(P\) nhỏ nhất, ta cần tìm đạo hàm của \(P\) theo \(x\) và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0.

Đạo hàm của \(P\) theo \(x\) là:
\[ P' = 2 \left( 1 - \frac{100}{x^2} \right) \]

Đặt \(P' = 0\):
\[ 1 - \frac{100}{x^2} = 0 \]
\[ \frac{100}{x^2} = 1 \]
\[ x^2 = 100 \]
\[ x = 10 \] (vì chiều dài không thể âm)

Khi \(x = 10\), ta có:
\[ y = \frac{100}{x} = \frac{100}{10} = 10 \]

Vậy hình chữ nhật có diện tích \(100 \, \text{m}^2\) và có chu vi nhỏ nhất là hình vuông với các cạnh đều bằng \(10 \, \text{m}\).

Chu vi của hình vuông này là:
\[ P = 2(10 + 10) = 40 \, \text{m} \]

Kết luận: Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng \(100 \, \text{m}^2\), hình vuông với cạnh \(10 \, \text{m}\) có chu vi nhỏ nhất, là \(40 \, \text{m}\).