Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(a\). Để tính đường cao \(AH\) và các tỉ số lượng giác của góc \(B\) và góc \(CAH\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính đường cao \(AH\):**

Trong tam giác đều \(ABC\), đường cao \(AH\) cũng là đường trung tuyến và đường phân giác. Do đó, \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\).

Ta có:
\[
BH = HC = \frac{a}{2}
\]

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ABH\):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
a^2 = AH^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
\[
a^2 = AH^2 + \frac{a^2}{4}
\]
\[
AH^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}
\]
\[
AH^2 = \frac{4a^2}{4} - \frac{a^2}{4}
\]
\[
AH^2 = \frac{3a^2}{4}
\]
\[
AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}
\]

2. **Tính các tỉ số lượng giác của góc \(B\):**

Trong tam giác đều, góc \(B\) là \(60^\circ\).

Các tỉ số lượng giác của góc \(60^\circ\) là:
\[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\]
\[
\tan 60^\circ = \sqrt{3}
\]
\[
\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

3. **Tính các tỉ số lượng giác của góc \(CAH\):**

Góc \(CAH\) là góc giữa đường cao \(AH\) và cạnh \(AC\). Trong tam giác đều, góc \(CAH\) là \(30^\circ\).

Các tỉ số lượng giác của góc \(30^\circ\) là:
\[
\sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\]
\[
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
\[
\cot 30^\circ = \sqrt{3}
\]

Tóm lại:
- Đường cao \(AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
- Các tỉ số lượng giác của góc \(B\) (\(60^\circ\)) là:
\[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \quad \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
- Các tỉ số lượng giác của góc \(CAH\) (\(30^\circ\)) là:
\[
\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \cot 30^\circ = \sqrt{3}
\]