Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức liên quan đến đường tròn và các góc.

**a. Tính độ dài cung KA và dây KB theo R**

1. **Độ dài cung KA:**

Độ dài cung KA được tính bằng công thức:
\[
L = R \cdot \theta
\]
trong đó \( \theta \) là góc ở tâm đo bằng radian.

Góc ở tâm \( \theta \) tương ứng với cung KA là \( 120^\circ \). Đổi sang radian:
\[
\theta = 120^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3} \text{ rad}
\]

Vậy độ dài cung KA là:
\[
L = R \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi R}{3}
\]

2. **Độ dài dây KB:**

Để tính độ dài dây KB, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác KOB, trong đó \( \angle KOB = 120^\circ \).

Độ dài dây KB (ký hiệu là \( d \)) được tính bằng công thức:
\[
d = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
\]
với \( \theta = 120^\circ \).

Ta có:
\[
\frac{\theta}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
\]

Do đó:
\[
d = 2R \sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}
\]

**b. Tính diện tích hình quạt OAK theo R**

Diện tích hình quạt OAK được tính bằng công thức:
\[
A = \frac{1}{2} R^2 \theta
\]
trong đó \( \theta \) là góc ở tâm đo bằng radian.

Với \( \theta = \frac{2\pi}{3} \) rad, ta có:
\[
A = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{R^2 \pi}{3}
\]

Vậy, kết quả là:

a. Độ dài cung KA là \( \frac{2\pi R}{3} \) và độ dài dây KB là \( R\sqrt{3} \).

b. Diện tích hình quạt OAK là \( \frac{R^2 \pi}{3} \).