Dưới đây là cách tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức đã cho:

1. Tìm giá trị lớn nhất (GLN) hoặc nhỏ nhất (NN) của các biểu thức:

a) \( P = 2x - x^2 - 2 \)

Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của \( P \), ta cần tìm đạo hàm của \( P \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.

\[ P' = 2 - 2x \]

Giải phương trình \( P' = 0 \):

\[ 2 - 2x = 0 \]
\[ x = 1 \]

Giá trị của \( P \) tại \( x = 1 \):

\[ P(1) = 2(1) - (1)^2 - 2 = 2 - 1 - 2 = -1 \]

Xét dấu của đạo hàm \( P' \):

- Khi \( x < 1 \), \( P' > 0 \) (P tăng)
- Khi \( x > 1 \), \( P' < 0 \) (P giảm)

Vậy \( P \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \) và giá trị lớn nhất là \( -1 \).

b) \( Q = x^2 - y^2 + 8x + 4y - 21 \)

Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của \( Q \), ta cần tìm đạo hàm của \( Q \) theo \( x \) và \( y \) và giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.

\[ Q_x = 2x + 8 \]
\[ Q_y = -2y + 4 \]

Giải hệ phương trình:

\[ 2x + 8 = 0 \]
\[ x = -4 \]

\[ -2y + 4 = 0 \]
\[ y = 2 \]

Giá trị của \( Q \) tại \( x = -4 \) và \( y = 2 \):

\[ Q(-4, 2) = (-4)^2 - (2)^2 + 8(-4) + 4(2) - 21 \]
\[ = 16 - 4 - 32 + 8 - 21 \]
\[ = -33 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( Q \) là \( -33 \).

c) \( A = 2x^2 + 12 + 39 \)

Đây là một hàm bậc hai có dạng \( A = 2x^2 + 51 \). Vì hệ số của \( x^2 \) là dương, hàm này không có giá trị lớn nhất mà chỉ có giá trị nhỏ nhất.

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 51 \) khi \( x = 0 \).

d) \( B = \frac{9x}{12x} \)

Giả sử \( x \neq 0 \), ta có:

\[ B = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]

Vậy giá trị của \( B \) là \( \frac{3}{4} \).

e) \( C = \frac{4x}{12x} \)

Giả sử \( x \neq 0 \), ta có:

\[ C = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Vậy giá trị của \( C \) là \( \frac{1}{3} \).

f) \( D = 3 - 10x^2 + 4xy - 4y^2 \)

Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của \( D \), ta cần tìm đạo hàm của \( D \) theo \( x \) và \( y \) và giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.

\[ D_x = -20x + 4y \]
\[ D_y = 4x - 8y \]

Giải hệ phương trình:

\[ -20x + 4y = 0 \]
\[ 4x - 8y = 0 \]

Từ phương trình thứ nhất:

\[ -20x + 4y = 0 \]
\[ y = 5x \]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[ 4x - 8(5x) = 0 \]
\[ 4x - 40x = 0 \]
\[ -36x = 0 \]
\[ x = 0 \]

\[ y = 5(0) = 0 \]

Giá trị của \( D \) tại \( x = 0 \) và \( y = 0 \):

\[ D(0, 0) = 3 - 10(0)^2 + 4(0)(0) - 4(0)^2 = 3 \]

Vậy giá trị lớn nhất của \( D \) là \( 3 \).

2. Tìm giá trị của \( x, y, z \) thỏa mãn:

\[ x^2 - 6x + y^2 + 10y + 34 = -\left(4z - 1\right)^2 \]

Để giải phương trình này, ta cần biến đổi về dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[ x^2 - 6x + 9 + y^2 + 10y + 25 + 34 - 9 - 25 = -\left(4z - 1\right)^2 \]
\[ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = -\left(4z - 1\right)^2 \]

Vì bình phương của một số luôn không âm, nên để phương trình này có nghiệm, ta cần:

\[ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 0 \]
\[ x - 3 = 0 \]
\[ x = 3 \]
\[ y + 5 = 0 \]
\[ y = -5 \]

Và:

\[ -\left(4z - 1\right)^2 = 0 \]
\[ 4z - 1 = 0 \]
\[ z = \frac{1}{4} \]

Vậy giá trị của \( x, y, z \) là \( x = 3 \), \( y = -5 \), và \( z = \frac{1}{4} \).

3. Chứng minh:

\[ (a + b + c)^2 + 12 = 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) \]

Đặt \( S = a + b + c \) và \( P = ab + bc + ca \). Ta cần chứng minh:

\[ S^2 + 12 = 4S + 2P \]

Ta có:

\[ S^2 = (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \]
\[ S^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2P \]

Thay vào phương trình cần chứng minh:

\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2P + 12 = 4(a + b + c) + 2P \]
\[ a^2 + b^2 + c^2 + 12 = 4a + 4b + 4c \]

Ta có:

\[ a^2 + b^2 + c^2 + 12 = 4a + 4b + 4c \]

Điều này đúng khi \( a = b = c = 2 \).

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức trên.