Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

**a) Chứng minh hai tam giác ABC và DAI bằng nhau.**

- Tam giác ABD vuông cân tại A, nên \(AB = AD\).
- Tam giác ACE vuông cân tại A, nên \(AC = AE\).
- Hình bình hành AEID có \(AE = ID\) và \(AD = IE\).

Do đó, \(AB = AD\) và \(AC = AE\) suy ra \(AB = IE\) và \(AC = ID\).

Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(DAI\):
- \(AB = ID\) (chứng minh trên).
- \(AC = IE\) (chứng minh trên).
- \(\angle BAC = \angle IDA\) (cùng bằng \(\angle BAC\)).

Vậy tam giác \(ABC\) và tam giác \(DAI\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c).

**b) Chứng minh đường thẳng AI vuông góc với BC.**

- Vì tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A\), nên \(\angle BAD = 45^\circ\).
- Vì tam giác \(ACE\) vuông cân tại \(A\), nên \(\angle CAE = 45^\circ\).

Do đó, \(\angle DAI = \angle BAD + \angle CAE = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ\).

Vậy \(AI\) vuông góc với \(BC\).

**c) Chứng minh đường thẳng BE vuông góc với đường thẳng CD.**

- Vì tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A\), nên \(\angle ABD = 45^\circ\).
- Vì tam giác \(ACE\) vuông cân tại \(A\), nên \(\angle ACE = 45^\circ\).

Do đó, \(\angle BEC = \angle ABD + \angle ACE = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ\).

Vậy \(BE\) vuông góc với \(CD\).

**d) Gọi K là trung điểm của BD, chứng minh \(KC = KI\) và \(KC\) vuông góc với \(KI\).**

- Vì \(K\) là trung điểm của \(BD\), nên \(BK = KD\).
- Xét tam giác \(AKI\) và tam giác \(BKC\):

+ \(AK = BK\) (vì \(K\) là trung điểm của \(BD\)).
+ \(\angle AKI = \angle BKC = 90^\circ\) (vì \(AI\) vuông góc với \(BC\)).

Do đó, tam giác \(AKI\) và tam giác \(BKC\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c).

Vậy \(KC = KI\) và \(KC\) vuông góc với \(KI\).