Để tìm các giá trị của \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( 2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 5 = 0 \), ta có thể thử biến đổi phương trình này để dễ dàng hơn trong việc giải.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình:

\[ 2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 5 = 0 \]

Chúng ta có thể nhóm các hạng tử để dễ dàng nhận ra các biểu thức hoàn chỉnh:

\[ 2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 5 = 0 \]

Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \):

\[ 2(x^2 + xy) + y^2 - 2x + 2y + 5 = 0 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ cố gắng hoàn thành bình phương:

\[ 2(x^2 + xy) + y^2 - 2x + 2y + 5 = 0 \]

Chúng ta có thể viết lại \( x^2 + xy \) như sau:

\[ x^2 + xy = \left(x + \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4} \]

Thay vào phương trình ban đầu:

\[ 2\left(\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4}\right) + y^2 - 2x + 2y + 5 = 0 \]

\[ 2\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{2} + y^2 - 2x + 2y + 5 = 0 \]

\[ 2\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{y^2}{2} - 2x + 2y + 5 = 0 \]

Bây giờ, chúng ta có thể nhóm lại các hạng tử:

\[ 2\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{y^2}{2} - 2x + 2y + 5 = 0 \]

Nhìn vào phương trình này, chúng ta có thể thấy rằng nó là một phương trình bậc hai trong \( x \) và \( y \). Tuy nhiên, việc giải phương trình này bằng cách hoàn thành bình phương có thể phức tạp. Thay vào đó, chúng ta có thể thử nghiệm các giá trị cụ thể của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

Giả sử \( x = 1 \):

\[ 2(1)^2 + 2(1)y + y^2 - 2(1) + 2y + 5 = 0 \]

\[ 2 + 2y + y^2 - 2 + 2y + 5 = 0 \]

\[ y^2 + 4y + 5 = 0 \]

Phương trình này không có nghiệm thực vì \( \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \).

Giả sử \( y = -1 \):

\[ 2x^2 + 2x(-1) + (-1)^2 - 2x + 2(-1) + 5 = 0 \]

\[ 2x^2 - 2x + 1 - 2x - 2 + 5 = 0 \]

\[ 2x^2 - 4x + 4 = 0 \]

\[ x^2 - 2x + 2 = 0 \]

Phương trình này cũng không có nghiệm thực vì \( \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \).

Do đó, phương trình ban đầu không có nghiệm thực nào thỏa mãn.