Để rút gọn biểu thức \( P \), ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu là:
\[ P = \left( \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 2} + \frac{3 - \sqrt{x}}{2x - 2} \right) \cdot \left( \frac{-\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} + 2}{x\sqrt{x} - 1} \right) \]

Bước 1: Rút gọn các phân số trong dấu ngoặc đầu tiên:
\[ \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 2} + \frac{3 - \sqrt{x}}{2x - 2} \]

Ta có thể viết lại mẫu số của các phân số này:
\[ 2\sqrt{x} - 2 = 2(\sqrt{x} - 1) \]
\[ 2x - 2 = 2(x - 1) \]

Do đó, biểu thức trở thành:
\[ \frac{\sqrt{x}}{2(\sqrt{x} - 1)} + \frac{3 - \sqrt{x}}{2(x - 1)} \]

Bước 2: Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{\sqrt{x}(x - 1) + (3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}{2(\sqrt{x} - 1)(x - 1)} \]

Bước 3: Rút gọn tử số:
\[ \sqrt{x}(x - 1) + (3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1) \]
\[ = \sqrt{x}x - \sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 3 - x + \sqrt{x} \]
\[ = x\sqrt{x} - \sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 3 - x + \sqrt{x} \]
\[ = x\sqrt{x} - x + 3\sqrt{x} - 3 \]

Bước 4: Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai:
\[ \frac{-\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} + 2}{x\sqrt{x} - 1} \]

Ta có thể viết lại mẫu số của các phân số này:
\[ x + \sqrt{x} + 1 \]
\[ x\sqrt{x} - 1 \]

Bước 5: Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{(-\sqrt{x} + 1)(x\sqrt{x} - 1) + (\sqrt{x} + 2)(x + \sqrt{x} + 1)}{(x + \sqrt{x} + 1)(x\sqrt{x} - 1)} \]

Bước 6: Rút gọn tử số:
\[ (-\sqrt{x} + 1)(x\sqrt{x} - 1) + (\sqrt{x} + 2)(x + \sqrt{x} + 1) \]
\[ = -x\sqrt{x}^2 + \sqrt{x} + x\sqrt{x} - 1 + x\sqrt{x} + 2x + \sqrt{x}^2 + 2\sqrt{x} + 2 \]
\[ = -x^2\sqrt{x} + \sqrt{x} + x\sqrt{x} - 1 + x\sqrt{x} + 2x + x + 2\sqrt{x} + 2 \]

Bước 7: Kết hợp các kết quả từ bước 3 và bước 6 để rút gọn biểu thức \( P \):
\[ P = \frac{x\sqrt{x} - x + 3\sqrt{x} - 3}{2(\sqrt{x} - 1)(x - 1)} \cdot \frac{-x^2\sqrt{x} + \sqrt{x} + x\sqrt{x} - 1 + x\sqrt{x} + 2x + x + 2\sqrt{x} + 2}{(x + \sqrt{x} + 1)(x\sqrt{x} - 1)} \]

Kết quả cuối cùng:
\[ P = \frac{x + 3}{2(\sqrt{x} + 1)} \]

Vậy biểu thức đã được rút gọn là:
\[ P = \frac{x + 3}{2(\sqrt{x} + 1)} \]