Để rút gọn biểu thức \(\frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{5}{x} = \frac{8}{x^2-2x}\), ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích mẫu số của phân số bên phải:
\[ x^2 - 2x = x(x - 2) \]

2. Thay vào biểu thức:
\[ \frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{5}{x} = \frac{8}{x(x-2)} \]

3. Nhân hai phân số bên trái:
\[ \frac{(x+2) \cdot 5}{(x-2) \cdot x} = \frac{5(x+2)}{x(x-2)} \]

4. So sánh với phân số bên phải:
\[ \frac{5(x+2)}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)} \]

5. Vì hai phân số có cùng mẫu số, ta so sánh tử số:
\[ 5(x+2) = 8 \]

6. Giải phương trình:
\[ 5x + 10 = 8 \]
\[ 5x = -2 \]
\[ x = -\frac{2}{5} \]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{2}{5} \).